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Author: Smallorange666

2/index.md

@@ -77,9 +77,9 @@ $f[x_0, x_1, \dots, x_n]=\displaystyle \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!},\xi\in[a, b] $
 
 **分段线性插值**： $I_h(x)=\displaystyle \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}f(x_k)+\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}f(x_{k+1}) $, 其中 $x_k\leqslant x\leqslant x_{k+1}, k=0, 1,\dots, n-1 $
 
-**三次样条插值函数**： $S_i(x)=a_i(x-x_i)^3+b_i(x-x_i)^2+c_i(x-x_i)+d_i, x\in [x_i, x_{i+1}] $
+**三次样条插值函数**：记 $h$ 为小区间长度， $M_i=S''(x_i), y_i=f(x_i)$ 
 
-记 $h$ 为小区间长度， $M_i=S''(x_i), y_i=f(x_i)$ ，在区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上的 $S(x)$ 为
+设区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上的插值函数为 $S_i(x)=a_i(x-x_i)^3+b_i(x-x_i)^2+c_i(x-x_i)+d_i, x\in [x_i, x_{i+1}] $
 
 $a_i=\displaystyle \frac{M_{i+1}-M_i}{6h} $ ， $b_i=\displaystyle \frac{M_i}{2} $
 

3/index.md

@@ -47,7 +47,7 @@ Gram 矩阵非奇异的充要条件是 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 线性无关
 
 **最佳平方逼近函数**： $S^{*}(x)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n}a_j\phi_j(x)$
 
-$\phi=span\{\phi_0(x), \phi_1(x), \dots, \phi_n(x)\}$ 是 $C[a, b]$ 中的一个子集
+$\phi=\text{span}\{\phi_0(x), \phi_1(x), \dots, \phi_n(x)\}$ 是 $C[a, b]$ 的一个子集
 
 系数由称为**法方程**的线性方程组确定：
 
@@ -108,15 +108,17 @@ $$
 
 **规范正交组**： $e_k(x)=\displaystyle \frac{1}{\Vert g_k \Vert_2}g_k(x)$
 
-**正交多项式**：多项式空间 $P_n$ 中一组线性无关函数 $\{x^k\}$ 经过施密特正交化过程得到的一组多项式 $\{p_i(x)\}$
+**正交多项式**：多项式空间 $P_n$ 中一组线性无关函数 $\{1, x, x^2, \dots\}$ 经过施密特正交化过程得到的一组多项式 $\{p_i(x)\}$
 
 若 $\{p_i(x)\}$ 是 $[a, b]$ 上权函数为 $\rho(x)$ 的正交多项式，则它们具有以下性质：
 
-- $p_k(x)$ 是首项系数不为 0 的 $k$ 次多项式
-- $\{p_i(x)\}$ 是多项式空间 $P_n$ 上的一组正交基
-- $p_n(x)=0$ 在 $[a, b]$ 上有 $n$ 个单根
+(1) $p_k(x)$ 是首项系数不为 0 的 $k$ 次多项式
 
-- $p_n(x)$ 与任一不高于 $n-1$ 次的多项式正交
+(2) $\{p_i(x)\}$ 是多项式空间 $P_n$ 上的一组正交基
+
+(3) $p_n(x)=0$ 在 $[a, b]$ 上有 $n$ 个单根
+
+(4) $p_n(x)$ 与任一不高于 $n-1$ 次的多项式正交
 
 下面给出由不同的权函数，得到的不同正交多项式：
 

4/index.md

@@ -24,7 +24,7 @@ $\displaystyle \sum_{k=0}^n C_k^{(n)}=1$ 恒成立
 
 **梯形公式** $I_1=\displaystyle \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$  余项 $R[f]=\displaystyle -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta)$
 
-**辛普森公式** $I_2=\displaystyle\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}2)+f(b)]$
+**辛普森公式** $I_2=\displaystyle\frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)]$
 
 余项 $R[f]=\displaystyle-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\eta)$
 
@@ -101,11 +101,11 @@ $\displaystyle \sum_{k=0}^n C_k^{(n)}=1$ 恒成立
 
 其中 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 分别是 $f(a+h), f(a-h) $ 的舍入误差
 
-**3点前向** $f^{\prime}(x_i)\approx\frac{-f(x_{i+2})+4f(x_{i+1})-3f(x_i)}{x_{i+2}-x_i}$
+**三点前向** $f^{\prime}(x_i)\approx\displaystyle\frac{-f(x_{i+2})+4f(x_{i+1})-3f(x_i)}{x_{i+2}-x_i}$
 
-**3点中间** $f'(x_i) \approx \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})}{x_{i+1} - x_{i-1}}$
+**三点中间** $f'(x_i) \approx \displaystyle\frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})}{x_{i+1} - x_{i-1}}$
 
-**3点后向** $f^{\prime}(x_i)\approx\frac{3f(x_i)-4f(x_{i-1})+f(x_{i-2})}{x_i-x_{i-2}}$
+**三点后向** $f^{\prime}(x_i)\approx\displaystyle\frac{3f(x_i)-4f(x_{i-1})+f(x_{i-2})}{x_i-x_{i-2}}$
 
 **插值型求导公式**： $f'(x)=L_n'(x)$
 

5/index.md

@@ -53,7 +53,7 @@ Cholesky 分解后，类似 LU 分解的过程得到最终解
 
 **矩阵范数**：如果矩阵 $\mathbf{A}\in R^{n\times n}$ 与某个非负的实值函数 $N(\mathbf{A})=\Vert\mathbf{A}\Vert$ 满足正定性、齐次性、三角不等式以及相容性，则称 $N(\mathbf{A})$ 是一个矩阵范数
 
-**相容性**：$\Vert \mathbf{Ax}\Vert\leqslant \Vert \mathbf{A}\Vert \Vert \mathbf{x}\Vert$。其中 $\Vert \mathbf{A}\Vert$ 矩阵范数， $\Vert \mathbf{Ax}\Vert, \Vert \mathbf{x}\Vert$ 是向量范数。只有满足这个不等式，才说这个矩阵范数和这个向量范数是相容的。
+**相容性**：$\Vert \mathbf{Ax}\Vert\leqslant \Vert \mathbf{A}\Vert \Vert \mathbf{x}\Vert$。其中 $\Vert \mathbf{A}\Vert$ 矩阵范数， $\Vert \mathbf{Ax}\Vert$ 、 $\Vert \mathbf{x}\Vert$ 是向量范数。只有满足这个不等式，才说这个矩阵范数和这个向量范数是相容的。
 
 **算子范数（从属矩阵范数）**：$\Vert \mathbf{A}\Vert =\displaystyle \max_{\Vert \mathbf{x}\Vert=1}\{\Vert\mathbf{Ax}\Vert\}=\max_{\mathbf{x\neq 0}}\frac{\Vert \mathbf{Ax\Vert}}{\Vert \mathbf{x} \Vert}$ ，其中 $\Vert\mathbf{Ax}\Vert$ 是某个向量范数。算子范数度量了矩阵 $\mathbf{A}$ 将向量 $\mathbf{x}$ 映射到新向量 $\mathbf{Ax}$ 的"放大"程度。
 

7/index.md

@@ -10,11 +10,11 @@ $| x_k-x^*|\leqslant(b_k-a_k)/2=(b-a)/2^{k+1}\quad (k=0,1,2\dots)$
 
 (1) $\forall x\in [ a, b]$ ,都有 $\phi(x)\in[a,b]$ 
 
-(2) $\exists0\leq L<1$ , 使得 $\forall x,y\in[a,b]$ ,都有 $|\phi(x)-\phi(y)|\leq L| x-y|$
+(2) $\exists0\leqslant L<1$ , 使得 $\forall x,y\in[a,b]$ ,都有 $|\phi(x)-\phi(y)|\leqslant L| x-y|$
 
 那么 $\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一的不动点 $x^*$
 
-上述定理的第二个条件可用 $\left|\phi^{\prime}(x)\right|\leq L<1$ 代替。
+上述定理的第二个条件可用 $\left|\phi^{\prime}(x)\right|\leqslant L<1$ 代替。
 
 误差估计：
 

9/index.md

@@ -16,7 +16,7 @@ $$
 
 **后向欧拉法**： $y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})$ ，局部截断误差 $T_{n+1}=\displaystyle -\frac{h^2}{2}y''(x_n)+O(h^3)$
 
-**梯形方法**： $ y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})]$ ，局部截断误差 $T_{n+1}=\displaystyle -\frac{h^3}{12}y'''(x_n)+O(h^4)$
+**梯形方法**： $ y_{n+1}=\displaystyle y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})]$ ，局部截断误差 $T_{n+1}=\displaystyle -\frac{h^3}{12}y'''(x_n)+O(h^4)$
 
 **改进欧拉法（Heun 法）**