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给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
说明：
- 所有数字（包括 target）都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1： 输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7, 所求解集为： [ [7], [2,2,3] ]
示例 2： 输入：candidates = [2,3,5], target = 8, 所求解集为： [ [2,2,2,2], [2,3,3], [3,5] ]
题目中的无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。
本题和77.组合，216.组合总和III和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
而在77.组合和216.组合总和III 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。
- 递归函数参数
这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）
首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。
此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。
本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？
我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：77.组合，216.组合总和III。
如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合
注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍。
代码如下：
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)- 递归终止条件
在如下树形结构中：
从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：
if (sum > target) {
return;
}
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}- 单层搜索的逻辑
单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。
注意本题和77.组合、216.组合总和III的一个区别是：本题元素为可重复选取的。
如何重复选取呢，看代码，注释部分：
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
sum -= candidates[i]; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}按照关于回溯算法，你该了解这些！中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：
// 版本一
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum > target) {
return;
}
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
result.clear();
path.clear();
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};在这个树形结构中：
以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。
其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。
那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。
对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。
如图：
for循环剪枝代码如下：
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
整体代码如下：（注意注释的部分）
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i);
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
result.clear();
path.clear();
sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};本题和我们之前讲过的77.组合、216.组合总和III有两点不同：
- 组合没有数量要求
- 元素可无限重复选取
针对这两个问题，我都做了详细的分析。
并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用17.电话号码的字母组合做了对比。
最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。
在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！
可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。
// 剪枝优化
class Solution {
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
Arrays.sort(candidates); // 先进行排序
backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);
return res;
}
public void backtracking(List<List<Integer>> res, List<Integer> path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {
// 找到了数字和为 target 的组合
if (sum == target) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
if (sum + candidates[i] > target) break;
path.add(candidates[i]);
backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);
path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除路径 path 最后一个元素
}
}
}回溯
class Solution:
def __init__(self):
self.path = []
self.paths = []
def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
'''
因为本题没有组合数量限制，所以只要元素总和大于target就算结束
'''
self.path.clear()
self.paths.clear()
self.backtracking(candidates, target, 0, 0)
return self.paths
def backtracking(self, candidates: List[int], target: int, sum_: int, start_index: int) -> None:
# Base Case
if sum_ == target:
self.paths.append(self.path[:]) # 因为是shallow copy，所以不能直接传入self.path
return
if sum_ > target:
return
# 单层递归逻辑
for i in range(start_index, len(candidates)):
sum_ += candidates[i]
self.path.append(candidates[i])
self.backtracking(candidates, target, sum_, i) # 因为无限制重复选取，所以不是i+1
sum_ -= candidates[i] # 回溯
self.path.pop() # 回溯剪枝回溯
class Solution:
def __init__(self):
self.path = []
self.paths = []
def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
'''
因为本题没有组合数量限制，所以只要元素总和大于target就算结束
'''
self.path.clear()
self.paths.clear()
# 为了剪枝需要提前进行排序
candidates.sort()
self.backtracking(candidates, target, 0, 0)
return self.paths
def backtracking(self, candidates: List[int], target: int, sum_: int, start_index: int) -> None:
# Base Case
if sum_ == target:
self.paths.append(self.path[:]) # 因为是shallow copy，所以不能直接传入self.path
return
# 单层递归逻辑
# 如果本层 sum + condidates[i] > target，就提前结束遍历，剪枝
for i in range(start_index, len(candidates)):
if sum_ + candidates[i] > target:
return
sum_ += candidates[i]
self.path.append(candidates[i])
self.backtracking(candidates, target, sum_, i) # 因为无限制重复选取，所以不是i-1
sum_ -= candidates[i] # 回溯
self.path.pop() # 回溯主要在于递归中传递下一个数字
func combinationSum(candidates []int, target int) [][]int {
var trcak []int
var res [][]int
backtracking(0,0,target,candidates,trcak,&res)
return res
}
func backtracking(startIndex,sum,target int,candidates,trcak []int,res *[][]int){
//终止条件
if sum==target{
tmp:=make([]int,len(trcak))
copy(tmp,trcak)//拷贝
*res=append(*res,tmp)//放入结果集
return
}
if sum>target{return}
//回溯
for i:=startIndex;i<len(candidates);i++{
//更新路径集合和sum
trcak=append(trcak,candidates[i])
sum+=candidates[i]
//递归
backtracking(i,sum,target,candidates,trcak,res)
//回溯
trcak=trcak[:len(trcak)-1]
sum-=candidates[i]
}
}var combinationSum = function(candidates, target) {
const res = [], path = [];
candidates.sort((a,b)=>a-b); // 排序
backtracking(0, 0);
return res;
function backtracking(j, sum) {
if (sum === target) {
res.push(Array.from(path));
return;
}
for(let i = j; i < candidates.length; i++ ) {
const n = candidates[i];
if(n > target - sum) break;
path.push(n);
sum += n;
backtracking(i, sum);
path.pop();
sum -= n;
}
}
};function combinationSum(candidates: number[], target: number): number[][] {
const resArr: number[][] = [];
function backTracking(
candidates: number[], target: number,
startIndex: number, route: number[], curSum: number
): void {
if (curSum > target) return;
if (curSum === target) {
resArr.push(route.slice());
return
}
for (let i = startIndex, length = candidates.length; i < length; i++) {
let tempVal: number = candidates[i];
route.push(tempVal);
backTracking(candidates, target, i, route, curSum + tempVal);
route.pop();
}
}
backTracking(candidates, target, 0, [], 0);
return resArr;
};impl Solution {
pub fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, candidates: &Vec<i32>, target: i32, mut sum: i32, start_index: usize) {
if sum == target {
result.push(path.to_vec());
return;
}
for i in start_index..candidates.len() {
if sum + candidates[i] <= target {
sum += candidates[i];
path.push(candidates[i]);
Self::backtracking(result, path, candidates, target, sum, i);
sum -= candidates[i];
path.pop();
}
}
}
pub fn combination_sum(candidates: Vec<i32>, target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
Self::backtracking(&mut result, &mut path, &candidates, target, 0, 0);
result
}
}int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
//记录每一个和等于target的path数组长度
int* length;
void backTracking(int target, int index, int* candidates, int candidatesSize, int sum) {
//若sum>=target就应该终止遍历
if(sum >= target) {
//若sum等于target，将当前的组合放入ans数组中
if(sum == target) {
int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
int j;
for(j = 0; j < pathTop; j++) {
tempPath[j] = path[j];
}
ans[ansTop] = tempPath;
length[ansTop++] = pathTop;
}
return ;
}
int i;
for(i = index; i < candidatesSize; i++) {
//将当前数字大小加入sum
sum+=candidates[i];
path[pathTop++] = candidates[i];
backTracking(target, i, candidates, candidatesSize, sum);
sum-=candidates[i];
pathTop--;
}
}
int** combinationSum(int* candidates, int candidatesSize, int target, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//初始化变量
path = (int*)malloc(sizeof(int) * 50);
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 200);
length = (int*)malloc(sizeof(int) * 200);
ansTop = pathTop = 0;
backTracking(target, 0, candidates, candidatesSize, 0);
//设置返回的数组大小
*returnSize = ansTop;
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
int i;
for(i = 0; i < ansTop; i++) {
(*returnColumnSizes)[i] = length[i];
}
return ans;
}func combinationSum(_ candidates: [Int], _ target: Int) -> [[Int]] {
var result = [[Int]]()
var path = [Int]()
func backtracking(sum: Int, startIndex: Int) {
// 终止条件
if sum == target {
result.append(path)
return
}
let end = candidates.count
guard startIndex < end else { return }
for i in startIndex ..< end {
let sum = sum + candidates[i] // 使用局部变量隐藏回溯
if sum > target { continue } // 剪枝
path.append(candidates[i]) // 处理
backtracking(sum: sum, startIndex: i) // i不用+1以重复访问
path.removeLast() // 回溯
}
}
backtracking(sum: 0, startIndex: 0)
return result
}object Solution {
import scala.collection.mutable
def combinationSum(candidates: Array[Int], target: Int): List[List[Int]] = {
var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
var path = mutable.ListBuffer[Int]()
def backtracking(sum: Int, index: Int): Unit = {
if (sum == target) {
result.append(path.toList) // 如果正好等于target，就添加到结果集
return
}
// 应该是从当前索引开始的，而不是从0
// 剪枝优化：添加循环守卫，当sum + c(i) <= target的时候才循环，才可以进入下一次递归
for (i <- index until candidates.size if sum + candidates(i) <= target) {
path.append(candidates(i))
backtracking(sum + candidates(i), i)
path = path.take(path.size - 1)
}
}
backtracking(0, 0)
result.toList
}
}