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0673.最长递增子序列的个数.md

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673.最长递增子序列的个数

力扣题目链接

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

示例 1:

  • 输入: [1,3,5,4,7]
  • 输出: 2
  • 解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。

示例 2:

  • 输入: [2,2,2,2,2]
  • 输出: 5
  • 解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。

思路

这道题可以说是 300.最长上升子序列 的进阶版本

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

这道题目我们要一起维护两个数组。

dp[i]：i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]

count[i]：以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]

  1. 确定递推公式

在300.最长上升子序列 中，我们给出的状态转移是：

if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

即：位置i的最长递增子序列长度 等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1的最大值。

本题就没那么简单了，我们要考虑两个维度，一个是dp[i]的更新，一个是count[i]的更新。

那么如何更新count[i]呢？

以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]。

那么在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 > dp[i]，说明找到了一个更长的递增子序列。

那么以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，就是最新的以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] = count[j]。

在nums[i] > nums[j]前提下，如果在[0, i-1]的范围内，找到了j，使得dp[j] + 1 == dp[i]，说明找到了两个相同长度的递增子序列。

那么以i为结尾的子串的最长递增子序列的个数 就应该加上以j为结尾的子串的最长递增子序列的个数，即：count[i] += count[j];

代码如下：

if (nums[i] > nums[j]) {
    if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
        count[i] = count[j];
    } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
        count[i] += count[j];
    }
    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}

当然也可以这么写：

if (nums[i] > nums[j]) {
    if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
        dp[i] = dp[j] + 1; // 更新dp[i]放在这里，就不用max了
        count[i] = count[j];
    } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
        count[i] += count[j];
    }
}

这里count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。

题目要求最长递增序列的长度的个数，我们应该把最长长度记录下来。

代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) {
            if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                count[i] = count[j];
            } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                count[i] += count[j];
            }
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i]; // 记录最长长度
    }
}
  1. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i]和count[i]的定义

count[i]记录了以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数。

那么最少也就是1个，所以count[i]初始为1。

dp[i]记录了i之前（包括i）最长递增序列的长度。

最小的长度也是1，所以dp[i]初始为1。

代码如下：

vector<int> dp(nums.size(), 1);
vector<int> count(nums.size(), 1);

其实动规的题目中，初始化很有讲究，也很考察对dp数组定义的理解。

  1. 确定遍历顺序

dp[i] 是由0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) {
            if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                count[i] = count[j];
            } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                count[i] += count[j];
            }
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
    }
}

最后还有再遍历一遍dp[i]，把最长递增序列长度对应的count[i]累计下来就是结果了。

代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) {
            if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                count[i] = count[j];
            } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                count[i] += count[j];
            }
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
    }
}
int result = 0; // 统计结果
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
}

统计结果，可能有的同学又有点看懵了，那么就再回顾一下dp[i]和count[i]的定义。

  1. 举例推导dp数组

输入：[1,3,5,4,7]

673.最长递增子序列的个数

如果代码写出来了，怎么改都通过不了，那么把dp和count打印出来看看对不对！

以上分析完毕，C++整体代码如下：

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        vector<int> count(nums.size(), 1);
        int maxCount = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                        dp[i] = dp[j] + 1;
                        count[i] = count[j];
                    } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                        count[i] += count[j];
                    }
                }
                if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
            }
        }
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度：O(n^2)
  • 空间复杂度：O(n)

还有O(nlog n)的解法，使用树状数组，今天有点忙就先不写了，感兴趣的同学可以自行学习一下，这里有我之前写的树状数组系列博客：https://blog.csdn.net/youngyangyang04/category_871105.html （十年前的陈年老文了）

其他语言版本

Java

class Solution {
    public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length <= 1) return nums.length;
        int[] dp = new int[nums.length];
        for(int i = 0; i < dp.length; i++) dp[i] = 1;
        int[] count = new int[nums.length];
        for(int i = 0; i < count.length; i++) count[i] = 1;

        int maxCount = 0;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                        dp[i] = dp[j] + 1;
                        count[i] = count[j];
                    } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                        count[i] += count[j];
                    }
                }
                if (dp[i] > maxCount) maxCount = dp[i];
            }
        }
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (maxCount == dp[i]) result += count[i];
        }
        return result;
    }
}

Python

class Solution:
    def findNumberOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        if size<= 1: return size

        dp = [1 for i in range(size)]
        count = [1 for i in range(size)]

        maxCount = 0
        for i in range(1, size):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    if dp[j] + 1 > dp[i] :
                        dp[i] = dp[j] + 1
                        count[i] = count[j]
                    elif dp[j] + 1 == dp[i] :
                        count[i] += count[j]
                if dp[i] > maxCount:
                    maxCount = dp[i];
        result = 0
        for i in range(size):
            if maxCount == dp[i]:
                result += count[i]
        return result;

Go

func findNumberOfLIS(nums []int) int {
	size := len(nums)
	if size <= 1  {
		return size
	}

	dp := make([]int, size);
	for i, _ := range dp {
		dp[i] = 1
	}
	count := make([]int, size);
	for i, _ := range count {
		count[i] = 1
	}

	maxCount := 0
	for i := 1; i < size; i++ {
		for j := 0; j < i; j++ {
			if nums[i] > nums[j] {
				if dp[j] + 1 > dp[i] {
					dp[i] = dp[j] + 1
					count[i] = count[j]
				} else if dp[j] + 1 == dp[i] {
					count[i] += count[j]
				}
			}
			if dp[i] > maxCount {
				maxCount = dp[i]
			}
		}
	}

	result := 0
	for i := 0; i < size; i++ {
		if maxCount == dp[i] {
			result += count[i]
		}
	}
	return result
}

JavaScript

var findNumberOfLIS = function(nums) {
    const len = nums.length;
    if(len <= 1) return len;
    let dp = new Array(len).fill(1); // i之前（包括i）最长递增子序列的长度为dp[i]
    let count = new Array(len).fill(1); // 以nums[i]为结尾的字符串，最长递增子序列的个数为count[i]
    let res = 0;
    for(let i = 1; i < len; i++){
        for(let j = 0; j < i; j++){
            if(nums[i] > nums[j]){
                if(dp[j] + 1 > dp[i]){ // 第 j 个数字为前一个数字的子序列是否更更长
                    dp[i] = dp[j] + 1; //更新 dp[i] 
                    count[i] = count[j]; // 重置count[i]
                } else if(dp[j] + 1 === dp[i]){ // 和原来一样长
                    count[i] += count[j]; //更新count[i]
                }
            }
        }
    }
    let max = Math.max(...dp); //扩展运算符找到最大长度
    for(let i = 0; i < len; i++) if(dp[i] === max) res += count[i]; // 累加
    return res;
};