-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
integral.py
267 lines (219 loc) · 9.3 KB
/
integral.py
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Mar 2 18:01:20 2024
@author: kerem ([email protected])
TODO:
- [ ] Fonksiyonun integrallenebilirliğini kontrol et
"""
# Imports
import numpy as np
import matplotlib
from matplotlib import pyplot as plt
from sympy import sympify, lambdify, integrate, Symbol, SympifyError, Piecewise
# İnteraktif olmayan backend (https://matplotlib.org/stable/users/explain/backends.html)
matplotlib.use('agg')
# Fonksiyonun aralıktaki max ve minimum değerini bulmak için fonksiyonlar.
# f değeri fonksiyon, x değeri aralığın başı ve width de aralık boyu.
def get_max(f, x: float, width: float = 1):
X = np.linspace(x, x+width)
return np.max(f(X))
def get_min(f, x: float, width: float = 1):
X = np.linspace(x, x+width)
return np.min(f(X))
def riemann_alt(f, a, b, N):
x = np.linspace(a, b, N+1)[:-1]
y = np.zeros(len(x))
dx = (b-a)/N
for i, x_ in enumerate(x):
y[i] = get_min(f, x_, dx)
return np.sum(y * dx)
def riemann_ust(f, a, b, N):
x = np.linspace(a, b, N+1)[:-1]
y = np.zeros(len(x))
dx = (b-a)/N
for i, x_ in enumerate(x):
y[i] = get_max(f, x_, dx)
return np.sum(y * dx)
# Riemann integrallenebilir mi kontrolü
# Fonksiyonun verilen aralıkta tanımlı olduğu zaten biliniyor
# Ü(f, P) - A(f, P) parçalanma sayısı arttıkça 0a yaklaşmalı
def check_riemann(f, a, b, N):
last = riemann_ust(f, a, b, N-1) - riemann_alt(f, a, b, N-1)
for n in range(N-1, 2*N):
val = riemann_ust(f, a, b, n+1) - riemann_alt(f, a, b, n+1)
if val > last:
return False
last = val
return True
# Görselleri hazırlamak için fonksiyonlar
def riemann_alt_gorsel(f: str, a: str, b: str, N: int,
output_path: str = "riemann_alt.png") -> str:
# Değişkenler
x_sym = Symbol("x")
# Fonksiyon
f_str = f
try:
f_sym = sympify(f_str)
except SympifyError:
raise SyntaxError(f"Girilen ifade {f} anlaşılmadı")
if f_sym.is_number:
raise SyntaxError(f"Girilen ifade {f} bir fonksiyon belirtmiyor")
f = lambdify(x_sym, f_sym)
# Sınırlar
try:
a_sym = sympify(a)
except SympifyError:
raise SyntaxError(f"Verilen ifade {a} anlaşılmadı")
if not a_sym.is_number:
raise ValueError(f"Sınır değeri {a_sym} bir sayı değil")
if not a_sym.is_real:
raise ValueError(f"Sınır değeri {a_sym} bir gerçel sayı değil")
a = float(a_sym)
try:
b_sym = sympify(b)
except SympifyError:
raise SyntaxError(f"Verilen ifade {b} anlaşılmadı")
if not b_sym.is_number:
raise ValueError(f"Sınır değeri {b_sym} bir sayı değil")
if not b_sym.is_real:
raise ValueError(f"Sınır değeri {b_sym} bir gerçel sayı değil")
b = float(b_sym)
# ! Sürekli olmayıp integrallenebilir ve sürekli olup integrallenebilen
# fonksiyonlar var.
# Verilen sınırlar verilen fonksiyonun sürekli olduğu aralıkta
# değilse hata döndür. (reel sayılar üstünde)
# if not Interval(a_sym, b_sym).is_subset(continuous_domain(f_sym, x_sym, S.Reals)):
# raise NotIntegrableError
# Hesaplamalar için x ve y değerleri
x = np.linspace(a, b, N+1) # a'dan b'ye değerler, N+1 eşit parça
y = f(x)
# Fonksiyon çizimi için x ve y değerleri
# Burada daha çok parça kullanıyoruz ki çizerken daha köşesiz bir görüntü
# oluşsun.
X = np.linspace(a, b, 10*N+1)
Y = f(X)
# Y değerleri arasında NaN varsa hata döndür. Genelde tanımsız olduğu
# zaman nan döner. Sonsuzda da olabilir.
if np.isnan(Y).any():
raise ValueError("Fonksiyon verilen aralıkta tanımsız")
# Fonksiyon verilen aralıkta tanımlıysa Riemann integrallenebilir mi
ok = check_riemann(f, a, b, N)
if not ok:
raise ValueError("Fonksiyon Riemann integrallenebilir değil")
dx = (b-a)/N
# Grafiği çizeceğimiz alanı figsize boyunda oluşturuyoruz
plt.figure(figsize=(6,6))
# X ve Y değerleri ile fonksiyonu çiziyoruz.
# Fonksiyon parçalı değilse noktaların arasını doldurarak çiziyoruz.
# Eğer fonksiyon parçalı ise sadece verilen noktaları çiziyoruz.
# Bu kontrolü koymazsak kritik noktalar çizimde belli olmaz.
if type(f_sym) == Piecewise:
plt.plot(X, Y, 'r.', markersize=3)
else:
plt.plot(X, Y, 'r')
# alt toplam hesaplarken kullanacağımız x ve y değerleri
x_alt = x[:-1]
y_alt= np.zeros(len(x_alt)) # doğru boyutta bir vektör oluşturuyoruz
# x değerleri içinde dönüp x değerlerine karşılık aralıklardaki min
# y değerini bulup vektörün içine yerleştiriyoruz.
for i, x_ in enumerate(x_alt):
y_alt[i] = get_min(f, x_, dx)
# x ve y değerlerini noktalarla işaretliyoruz
plt.plot(x, y, 'm.', markersize=10)
# Diktörtgenleri çiziyoruz, x_alt'dan alınan x başlangıç noktası,
# dx taban boyu, y_alt'dan alınan y de dikdörtgenin yüksekliği.
plt.bar(x_alt, y_alt, width=dx, alpha=0.25, align='edge', edgecolor='b')
# x ve y eksenlerini çiziyoruz
ax = plt.gca()
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
# Toplamın değerini bulmak için y değerlerini ve aralık boyunu çarpıp
# topluyoruz yani aslında dikdörtgenlerin alanlarını bulup topluyoruz.
deger = np.sum(y_alt * dx)
# sympy ile integralin gerçek değerini hesaplıyoruz.
gercek_deger = integrate(f_sym, (x_sym, a_sym, b_sym)).evalf()
plt.title(f"Riemann Alt Toplamı, f(x)={f_sym}")
txt=f"a={a}, b={b} N={N}, dx={dx}\nToplam = {deger:.4f}, Gerçek değer = {gercek_deger:.4f}"
plt.figtext(0.5, 0.01, txt, wrap=True, horizontalalignment='center', fontsize=12)
plt.savefig(output_path, bbox_inches='tight')
return output_path
def riemann_ust_gorsel(f: str, a: str, b: str, N: int,
output_path: str = "riemann_ust.png") -> str:
# Değişkenler
x_sym = Symbol("x")
# Fonksiyon
f_str = f
try:
f_sym = sympify(f_str)
except SympifyError:
raise SyntaxError(f"Girilen ifade {f} anlaşılmadı")
if f_sym.is_number:
raise SyntaxError(f"Girilen ifade {f} bir fonksiyon belirtmiyor")
f = lambdify(x_sym, f_sym)
# Sınırlar
try:
a_sym = sympify(a)
except SympifyError:
raise SyntaxError(f"Verilen ifade {a} anlaşılmadı")
if not a_sym.is_number:
raise ValueError(f"Sınır değeri {a_sym} bir sayı değil")
if not a_sym.is_real:
raise ValueError(f"Sınır değeri {a_sym} bir gerçel sayı değil")
a = float(a_sym)
try:
b_sym = sympify(b)
except SympifyError:
raise SyntaxError(f"Verilen ifade {b} anlaşılmadı")
if not b_sym.is_number:
raise ValueError(f"Sınır değeri {b_sym} bir sayı değil")
if not b_sym.is_real:
raise ValueError(f"Sınır değeri {b_sym} bir gerçel sayı değil")
b = float(b_sym)
# ! Sürekli olmayıp integrallenebilir ve sürekli olup integrallenebilen
# fonksiyonlar var.
# Verilen sınırlar verilen fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta
# değilse hata döndür. (reel sayılar üstünde)
# if not Interval(a_sym, b_sym).is_subset(continuous_domain(f_sym, x_sym, S.Reals)):
# raise NotIntegrableError
# Hesaplamalar için x ve y değerleri
x = np.linspace(a, b, N+1) # a'dan b'ye değerler, N+1 eşit parça
y = f(x)
# Fonksiyon çizimi için x ve y değerleri
X = np.linspace(a, b, 10*N+1)
Y = f(X)
# Y değerleri arasında NaN varsa hata döndür. Genelde tanımsız olduğu
# zaman nan döner. Sonsuzda da olabilir.
if np.isnan(Y).any():
raise ValueError("Fonksiyon verilen aralıkta tanımsız")
if not check_riemann(f, a, b, N):
raise ValueError("Fonksiyon Riemann integrallenebilir değil")
dx = (b-a)/N
plt.figure(figsize=(6,6))
# X ve Y değerleri ile fonksiyonu çiziyoruz.
# Fonksiyon parçalı değilse noktaların arasını doldurarak çiziyoruz.
# Eğer fonksiyon parçalı ise sadece verilen noktaları çiziyoruz.
# Bu kontrolü koymazsak kritik noktalar çizimde belli olmaz.
if type(f_sym) == Piecewise:
plt.plot(X, Y, 'r.', markersize=3)
else:
plt.plot(X, Y, 'r')
x_ust = x[:-1]
y_ust= np.zeros(len(x_ust))
for i, x_ in enumerate(x_ust):
y_ust[i] = get_max(f, x_, dx)
plt.plot(x, y, 'm.', markersize=10)
plt.bar(x_ust, y_ust, width=dx, alpha=0.25, align='edge', edgecolor='b')
ax = plt.gca()
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
deger = np.sum(y_ust * dx)
gercek_deger = integrate(f_sym, (x_sym, a_sym, b_sym)).evalf()
plt.title(f"Riemann Üst Toplamı, f(x)={f_sym}")
txt=f"a={a}, b={b}, N={N}, dx={dx}\nToplam = {deger:.4f}, Gerçek değer = {gercek_deger:.4f}"
plt.figtext(0.5, 0.01, txt, wrap=True, horizontalalignment='center', fontsize=12)
plt.savefig(output_path, bbox_inches='tight')
return output_path