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Schaltungstechnik.tex

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+% .:: Laden der LaTeX4EI Formelsammlungsvorlage
+\documentclass[fs, footer]{latex4ei}
+
+% Dokumentbeginn
+% ======================================================================
+\begin{document}
+
+
+% Aufteilung in Spalten
+\vspace{-4mm}
+\begin{multicols*}{4}
+	\fstitle{Schaltungstechnik 1}
+
+% -------------------------------------------
+% | 		Schaltungstechnik				|
+% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+% SECTION ====================================================================================
+\section{Mathematische Grundlagen}
+% ============================================================================================
+
+\sectionbox{
+\subsection{Sinus, Cosinus \quad $\sin^2(x) \bs + \cos^2(x) = 1$}
+\setlength{\tabcolsep}{4pt}
+\tablebox{
+\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}c|c|c|c|c||c|c|c|c@{}} \ctrule
+$x$ & $0$ & $\pi / 6$ & $\pi / 4$ & $\pi / 3$ & $\frac{1}{2}\pi$ & $\pi$ & $1\frac{1}{2}\pi$ & $2 \pi$ \\
+$\scriptstyle{ \varphi }$ & $\scriptstyle{0^\circ}$ & $\scriptstyle{30^\circ}$ & $\scriptstyle{45^\circ}$ & $\scriptstyle{60^\circ}$ & $\scriptstyle{90^\circ}$ & $\scriptstyle{180^\circ}$ & $\scriptstyle{270^\circ}$ & $\scriptstyle{360^\circ}$ \\ \cmrule
+$\sin$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}}$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
+$\cos$ & $1$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt 2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\     
+$\tan$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ &	$1$	&	$\sqrt{3}$ & $\pm \infty$ & $0$ & $\mp \infty$ & $0$\\ \cbrule
+\end{tabular*} }
+}
+
+
+% SECTION ====================================================================================
+\section{Netzwerktheorie}
+% ============================================================================================
+
+\sectionbox{
+
+\subsection{Kirchhoff-Gesetze}
+Konzentriertheitshypothese: $d << \lambda$ mit \\
+$d = $ Größe der Schaltung, Wellenlänge $\lambda = c T$ \\
+
+Knotenregel \emph{KCL}: $ \sum \limits_{\text{Knoten}}i_{\ir j} (t) = 0$ (heraußfließende Ströme positiv) \\
+Maschenregel \emph{KVL}: $ \sum \limits_{\text{Umlauf}} u_{\ir j} (t) = 0$ (Spannungen in Umlaufrichtung positiv)
+
+Knoteninzidenzmatrix: $\ma A' = \mat{\alpha_{11} &  \ldots & \alpha_{1b} \\ \vdots & &  \\ \alpha_{n1} & \ldots & \alpha_{nb}}$ $n$ Knoten
+
+Spaltensummen von $A'$ sind immer $= 0$ \\
+$\Ra$ Zeile des Bezugsknotens streichen $\Ra$ \\
+$\ma A \vec i =0$ (reduzierte Knoteninzidenzmatrix)
+
+$\ma M = \ma A^{'\top} $ mit $\vec u = \ma M^{'} \vec u^{'}_{\ir k}$ $\Ra $ KVL in Matrixform: $\vec u - \ma A^{\top} \vec u_{k} = 0$
+
+}
+
+
+
+\sectionbox{	
+	\subsection{Schaltung und Netzwerkgraph}
+	% Verbindet man mehrere Bauelemente zu einer Schaltung ergibt sich eine eindeutige Verbindungsstruktur.\\
+	Der gerichtete Netzwerkgraph stellt die Verbindungsstruktur einer Schaltung durch $n$ Knoten (node) und $b$ Verbindungskanten (branch) mit Richtungspfeilen dar.\\
+	Jedes Bauelement mit zwei Anschlüssen entspricht einer Verbindungskante. Ein Knoten ist dort, wo ein oder mehr Anschlüsse von Bauteilen durch ideal leitenden Draht miteinander verbunden sind.
+	Verbundene Anschlüsse entsprechen einem Kurzschluss, nicht verbundene Anschlüsse einem Leerlauf!
+
+
+	Um die Betriebspunkte einer Schaltung zu bestimmen sind $2b$ linear unabhängige Gleichungen nötig. Man erhält diese $2b$ Gleichungen aus den Beschreibungen der Bauelemente und den Kirchoff Gleichungen.
+
+
+	\subsubsection{Wichtige Begriffe}
+		\begin{description}%\itemsep0pt
+		\item[Zählpfeile:] Zeigen die gemeinsame(assoziierte) Zählrichtung von Stromfluss und Spannungsabfall zwischen zwei Knoten an, unabhängig von den tatsächlichen Richtungen(Vorzeichen).
+		\item[Masse(Erdung) $\perp$:] Bezugspunkt des elektr. Potentials mit Potential $0V$
+		\item[Kurzschluss(KS):] ideal leitender Draht. $u_{KS} = 0$, $i_{KS}=$beliebig
+		\item[Leerlauf(LL):] ideal isolierende Luft. $u_{LL}=$beliebig, $i_{LL} = 0$
+		\item[Tor:] Ein Tor bilden zwei Anschlüsse bei denen der Stromzufluss des einen Anschluss gleich dem Stromabfluss des anderen Anschluss entspricht. $i_{in} = i_{out}$
+	\end{description}	
+
+}
+
+	\subsection{Eintorverschaltungen}
+
+
+	\tablebox{
+	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{\hspace{1em}}|ll@{}} \ctrule
+		\multicolumn{2}{c}{\large{Serienschaltung}} & \multicolumn{2}{c}{\large{Parallelschaltung}} \\ \ctrule
+		$u= \sum u_i$ & $i=\const$ & $u =\const$ & $i=\sum i_i$\\
+		$q= \const$ & $\Phi_{\ir M} =\sum \Phi_{{\ir M,}i}$  & $q=\sum q_i$ & $\Phi_{\ir M}=\const$\\ \cmrule
+		$R=\sum R_i$ & $M=\sum M_i$ & $\frac{1}{R} = \sum \frac{1}{R_i}$ & $\frac{1}{M} = \sum \frac{1}{M_i}$\\[0.5em]
+		$\frac{1}{C} = \sum \frac{1}{C_i}$ & $L=\sum L_i$ & $C=\sum C_i$ & $\frac{1}{L} = \sum \frac{1}{L_i}$ \\[0.5em] \cmrule
+		$\cx Z=\sum \cx Z_i$ & $\frac{1}{\cx Y} = \sum \frac{1}{\cx Y_i}$ & $\frac{1}{\cx Z} = \sum \frac{1}{\cx Z_i}$ & $\cx Y=\sum \cx Y_i$\\ \cbrule
+	\end{tabular*} }
+
+
+
+\sectionbox{
+\subsection{Resistive Eintore}
+
+\begin{itemize}
+	\item Implizite Darstellung: $f_F (u,i) = 0$
+	\item Parameterdarstellung: $u = u_F ( \lambda )$ \quad $ i = i_F (\lambda )$ 
+	\item Explizite Darstellung: $\underset{\ir Leitwertdarstellung}{i = g_F (u)}$ \quad $\underset{\ir Widerstandsdarstellung}{u = r_F (i)}$
+	\item Umpolung: $\overline F$ entsteht durch Punktspiegelung von $F$ am Unsprung: $(\overline u, \overline i) = (- u, - i) \in \overline F$
+	\item Dualität: $(u,i) \in F \Leftrightarrow ( R_d i, \frac{ u}{ R_d}) \in F^d$
+	\item Parallelschaltung von Widerstandsgeraden: $G = G_1 + G_2$ \\
+	$\Ra \frac 1 R = \frac 1 R_1 + \frac 1 R_2 \Ra R = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
+	\item Serienschaltung von Widerstandsgeraden: genauso wie Parallelschaltung nur $R$ statt $G$
+	\item Arbeitspunkt ermitteln:
+		\begin{enumerate}
+			\item Schaltungs aufteilen in Quelle $Q$ und Last $L$
+			\item Parameterdarstellung $\Ra$ Kennlinien zeichnen
+			\item Lösung: Schnittpunkte der Kennlinien! $\Ra$ ist die Funktion im AP stetig und diffbar, kann man sie dort \emph{linearisieren}
+		\end{enumerate}
+\end{itemize} 
+
+Eigenschaften von $F$:
+
+\tablebox{
+	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
+	\ctrule
+		F ungepolt & Kennlinie punktsymm. zum Ursprung \\ 
+		F aktiv & mind. 1 Pkt. in II. od. IV. Quadr. \\
+		F verlustfrei & nur auf Koordinatenachsen \\
+		F quellenfrei & enthält den Ursprung \\
+		F streng linear & $(ku, ki) \in F$ \quad $ (u_1 + u_2, i_1 + i_2) \in F$ \\
+		\cbrule
+	\end{tabular*}
+}
+
+
+}
+% -- Seite 1
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+
+
+\newpage
+% -------------------------------------------------------
+% | 		S C H A L T U N G S T E C H N I K 2			|
+% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+%########################################################################################################################################################################################################
+{\huge{\textbf{Schaltungstechnik 2}}} 
+
+
+\section{Allgemeines}
+% ===============================================================================================
+
+	\subsection{Die vier zentralen Größen $u,i,q,\Phi$}
+	% ----------------------------------------------------------------------
+	... beschreiben die Wirkungsweise von elektronischen Bauelementen.\\ \\
+	\begin{tabular}{lc|ll}
+		Größe & & Definition\\ \hline
+		Spannung & $u$ & Potentialdifferenz. Richtung: Von hohem zu niedrigen Potential.\\
+		Stromfluss & $i$ & Bewegte Ladung. Richtung: Bewegungsrichtung positiver Ladung.\\
+		Ladung & $q$ & Grundeigenschaft von Materie. Es gibt positive und negative Ladung.\\
+		Magn. Fluss & $\Phi$ & Grundeigenschaften von elektr. magn. Feldern.\\
+	\end{tabular} 
+
+		\subsubsection{Allgemeine Zusammenhänge $u,i,q,\Phi$}
+		Ladung und Strom beschreiben den Zustand der Materie.\\
+		Spannung und magn. Fluss beschreiben den Zustand des elekt. magn. Feldes.\\ \\
+		\begin{tabular}{l|l}
+			$i(t) = \dot q(t)$ & $[i]=A$\\
+			$q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^t i(\tau) \mathrm d\tau$	& $[q]=As=C$ \\ \hline
+			$u(t) = \dot \Phi(t)$ & $[u]=V$\\
+			$\Phi = \Phi(t_0) + \int_{t_0}^t u(\tau) \mathrm d\tau$ & $[\Phi]=Vs=Wb$ \\
+		\end{tabular}
+
+
+
+
+		\subsubsection{Arten von Bauelementen}
+		\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
+			Art & Symbol & Beschr. & linear & Beispiel\\ \hline
+			Resistivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Resistivitat.pdf} & $f_R(u,i)$  & $u = U_0 + R \cdot i$ & PN-Diode\\
+			Kapazität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Kapazivitat.pdf} & $f_C(u,q)$ & $q = Q_0 + C \cdot u$ & Kondensator\\ 
+			Induktivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Induktivitat.pdf} & $f_L(i,\Phi)$ & $\Phi = \Phi_0 + L \cdot i$ & Spule\\
+			Memristivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Memristivitat.pdf} & $f_M(q,\Phi)$ & $\Phi = \Phi_0 + M \cdot q$ & Memristor\\
+		\end{tabular}
+
+
+
+
+
+\sectionbox{	
+	\subsection{Komplexe Wechselstromrechnung}
+	% ---------------------------------------------------------
+	Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusförmiger Erregung $x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t + \varphi)$
+	Effektivwert $X = \frac{\hat x}{\sqrt{2}}$\\
+	Differentialoperator: $\frac{\diff}{\diff t} = \i \omega$\\
+	\emphbox{
+	\begin{tabular}{ll}	
+		Reeles Zeitsignal: &\!\!\!\!\!\! $x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t + \varphi_x)$\\[0.5em]
+		Effektiver Zeiger: &\!\!\!\!\!\! $\cx X = X_w + \i X_b = X \exp(\i \varphi_x)$\\[0.5em]
+		Scheitel Zeiger: &\!\!\!\!\!\! $\boldsymbol{\hat X} = \sqrt{2} \cx X = \hat X \exp(\i \varphi_x)$\\[0.5em]
+		Kompl. Zeitsignal: &\!\!\!\!\!\! $\cx x(t) = \boldsymbol{\hat X} \cdot e^{\i \omega t} = \hat x \cdot e^{\i(\omega t + \varphi_x)}$\\[0.5em]
+		Phase: &\!\!\!\!\!\! $\varphi_x := \arg \cx X = \arctan \frac{X_b}{X_w}$\\
+	\end{tabular} }	\\
+	\framebox[\columnwidth]{
+		\begin{tabular}{l@{\hspace{4em}}l}
+		$\underset{\text{Impedanz}}{\cx Z(j\omega)} = \underset{\text{Resistanz}}{R(j\omega)} + \underset{\text{Reaktanz}}{jX(j\omega)}$ & $\cx U = \cx Z \cdot \cx I$\\[0.5em]
+		$\underset{\text{Admittanz}}{\cx Y(j\omega)} = \underset{\text{Konduktanz}}{G(j\omega)} + \underset{\text{Suszeptanz}}{jB(j\omega)}$ & $\cx I = \cx Y \cdot \cx U$\\
+		\end{tabular}
+	}
+
+	\tablebox{
+	\begin{tabular*}{\columnwidth}{l@{\extracolsep\fill}cccc} \ctrule
+	 & \textbf{Widerstand} & \textbf{Kondensator} & \textbf{Spule} & \textbf{Memristor}\\ \cmrule
+	$Z=$ & $R$ & $\frac{1}{j \omega C}$ & $j \omega L$ & $M$\\[0.5em]
+	$Y=$ & $G = \frac{1}{R}$ & $j \omega C$ & $\frac{1}{j \omega L}$ & $\frac{1}{M}$\\[0.5em]
+	$\underset{\varphi_u - \varphi_i}{\Delta \varphi =}$ & 0 & $-\frac{\pi}{2}$ & $\frac{\pi}{2}$ & ?\\ \cbrule
+	\end{tabular*} }
+}
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+% Ende der Spalten
+\end{multicols*}
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+% Dokumentende
+% ======================================================================
+\end{document}
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+% ToDos:
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