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| 1 | +% .:: Laden der LaTeX4EI Formelsammlungsvorlage |
| 2 | +\documentclass[fs, footer]{latex4ei} |
| 3 | + |
| 4 | +% Dokumentbeginn |
| 5 | +% ====================================================================== |
| 6 | +\begin{document} |
| 7 | + |
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| 9 | +% Aufteilung in Spalten |
| 10 | +\vspace{-4mm} |
| 11 | +\begin{multicols*}{4} |
| 12 | + \fstitle{Schaltungstechnik 1} |
| 13 | + |
| 14 | +% ------------------------------------------- |
| 15 | +% | Schaltungstechnik | |
| 16 | +% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |
| 17 | +% SECTION ==================================================================================== |
| 18 | +\section{Mathematische Grundlagen} |
| 19 | +% ============================================================================================ |
| 20 | + |
| 21 | +\sectionbox{ |
| 22 | +\subsection{Sinus, Cosinus \quad $\sin^2(x) \bs + \cos^2(x) = 1$} |
| 23 | +\setlength{\tabcolsep}{4pt} |
| 24 | +\tablebox{ |
| 25 | +\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}c|c|c|c|c||c|c|c|c@{}} \ctrule |
| 26 | +$x$ & $0$ & $\pi / 6$ & $\pi / 4$ & $\pi / 3$ & $\frac{1}{2}\pi$ & $\pi$ & $1\frac{1}{2}\pi$ & $2 \pi$ \\ |
| 27 | +$\scriptstyle{ \varphi }$ & $\scriptstyle{0^\circ}$ & $\scriptstyle{30^\circ}$ & $\scriptstyle{45^\circ}$ & $\scriptstyle{60^\circ}$ & $\scriptstyle{90^\circ}$ & $\scriptstyle{180^\circ}$ & $\scriptstyle{270^\circ}$ & $\scriptstyle{360^\circ}$ \\ \cmrule |
| 28 | +$\sin$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}}$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ |
| 29 | +$\cos$ & $1$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt 2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\ |
| 30 | +$\tan$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & $\pm \infty$ & $0$ & $\mp \infty$ & $0$\\ \cbrule |
| 31 | +\end{tabular*} } |
| 32 | +} |
| 33 | + |
| 34 | + |
| 35 | +% SECTION ==================================================================================== |
| 36 | +\section{Netzwerktheorie} |
| 37 | +% ============================================================================================ |
| 38 | + |
| 39 | +\sectionbox{ |
| 40 | + |
| 41 | +\subsection{Kirchhoff-Gesetze} |
| 42 | +Konzentriertheitshypothese: $d << \lambda$ mit \\ |
| 43 | +$d = $ Größe der Schaltung, Wellenlänge $\lambda = c T$ \\ |
| 44 | + |
| 45 | +Knotenregel \emph{KCL}: $ \sum \limits_{\text{Knoten}}i_{\ir j} (t) = 0$ (heraußfließende Ströme positiv) \\ |
| 46 | +Maschenregel \emph{KVL}: $ \sum \limits_{\text{Umlauf}} u_{\ir j} (t) = 0$ (Spannungen in Umlaufrichtung positiv) |
| 47 | + |
| 48 | +Knoteninzidenzmatrix: $\ma A' = \mat{\alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1b} \\ \vdots & & \\ \alpha_{n1} & \ldots & \alpha_{nb}}$ $n$ Knoten |
| 49 | + |
| 50 | +Spaltensummen von $A'$ sind immer $= 0$ \\ |
| 51 | +$\Ra$ Zeile des Bezugsknotens streichen $\Ra$ \\ |
| 52 | +$\ma A \vec i =0$ (reduzierte Knoteninzidenzmatrix) |
| 53 | + |
| 54 | +$\ma M = \ma A^{'\top} $ mit $\vec u = \ma M^{'} \vec u^{'}_{\ir k}$ $\Ra $ KVL in Matrixform: $\vec u - \ma A^{\top} \vec u_{k} = 0$ |
| 55 | + |
| 56 | +} |
| 57 | + |
| 58 | + |
| 59 | + |
| 60 | +\sectionbox{ |
| 61 | + \subsection{Schaltung und Netzwerkgraph} |
| 62 | + % Verbindet man mehrere Bauelemente zu einer Schaltung ergibt sich eine eindeutige Verbindungsstruktur.\\ |
| 63 | + Der gerichtete Netzwerkgraph stellt die Verbindungsstruktur einer Schaltung durch $n$ Knoten (node) und $b$ Verbindungskanten (branch) mit Richtungspfeilen dar.\\ |
| 64 | + Jedes Bauelement mit zwei Anschlüssen entspricht einer Verbindungskante. Ein Knoten ist dort, wo ein oder mehr Anschlüsse von Bauteilen durch ideal leitenden Draht miteinander verbunden sind. |
| 65 | + Verbundene Anschlüsse entsprechen einem Kurzschluss, nicht verbundene Anschlüsse einem Leerlauf! |
| 66 | + |
| 67 | + |
| 68 | + Um die Betriebspunkte einer Schaltung zu bestimmen sind $2b$ linear unabhängige Gleichungen nötig. Man erhält diese $2b$ Gleichungen aus den Beschreibungen der Bauelemente und den Kirchoff Gleichungen. |
| 69 | + |
| 70 | + |
| 71 | + \subsubsection{Wichtige Begriffe} |
| 72 | + \begin{description}%\itemsep0pt |
| 73 | + \item[Zählpfeile:] Zeigen die gemeinsame(assoziierte) Zählrichtung von Stromfluss und Spannungsabfall zwischen zwei Knoten an, unabhängig von den tatsächlichen Richtungen(Vorzeichen). |
| 74 | + \item[Masse(Erdung) $\perp$:] Bezugspunkt des elektr. Potentials mit Potential $0V$ |
| 75 | + \item[Kurzschluss(KS):] ideal leitender Draht. $u_{KS} = 0$, $i_{KS}=$beliebig |
| 76 | + \item[Leerlauf(LL):] ideal isolierende Luft. $u_{LL}=$beliebig, $i_{LL} = 0$ |
| 77 | + \item[Tor:] Ein Tor bilden zwei Anschlüsse bei denen der Stromzufluss des einen Anschluss gleich dem Stromabfluss des anderen Anschluss entspricht. $i_{in} = i_{out}$ |
| 78 | + \end{description} |
| 79 | + |
| 80 | +} |
| 81 | + |
| 82 | + \subsection{Eintorverschaltungen} |
| 83 | + |
| 84 | + |
| 85 | + \tablebox{ |
| 86 | + \begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{\hspace{1em}}|ll@{}} \ctrule |
| 87 | + \multicolumn{2}{c}{\large{Serienschaltung}} & \multicolumn{2}{c}{\large{Parallelschaltung}} \\ \ctrule |
| 88 | + $u= \sum u_i$ & $i=\const$ & $u =\const$ & $i=\sum i_i$\\ |
| 89 | + $q= \const$ & $\Phi_{\ir M} =\sum \Phi_{{\ir M,}i}$ & $q=\sum q_i$ & $\Phi_{\ir M}=\const$\\ \cmrule |
| 90 | + $R=\sum R_i$ & $M=\sum M_i$ & $\frac{1}{R} = \sum \frac{1}{R_i}$ & $\frac{1}{M} = \sum \frac{1}{M_i}$\\[0.5em] |
| 91 | + $\frac{1}{C} = \sum \frac{1}{C_i}$ & $L=\sum L_i$ & $C=\sum C_i$ & $\frac{1}{L} = \sum \frac{1}{L_i}$ \\[0.5em] \cmrule |
| 92 | + $\cx Z=\sum \cx Z_i$ & $\frac{1}{\cx Y} = \sum \frac{1}{\cx Y_i}$ & $\frac{1}{\cx Z} = \sum \frac{1}{\cx Z_i}$ & $\cx Y=\sum \cx Y_i$\\ \cbrule |
| 93 | + \end{tabular*} } |
| 94 | + |
| 95 | + |
| 96 | + |
| 97 | +\sectionbox{ |
| 98 | +\subsection{Resistive Eintore} |
| 99 | + |
| 100 | +\begin{itemize} |
| 101 | + \item Implizite Darstellung: $f_F (u,i) = 0$ |
| 102 | + \item Parameterdarstellung: $u = u_F ( \lambda )$ \quad $ i = i_F (\lambda )$ |
| 103 | + \item Explizite Darstellung: $\underset{\ir Leitwertdarstellung}{i = g_F (u)}$ \quad $\underset{\ir Widerstandsdarstellung}{u = r_F (i)}$ |
| 104 | + \item Umpolung: $\overline F$ entsteht durch Punktspiegelung von $F$ am Unsprung: $(\overline u, \overline i) = (- u, - i) \in \overline F$ |
| 105 | + \item Dualität: $(u,i) \in F \Leftrightarrow ( R_d i, \frac{ u}{ R_d}) \in F^d$ |
| 106 | + \item Parallelschaltung von Widerstandsgeraden: $G = G_1 + G_2$ \\ |
| 107 | + $\Ra \frac 1 R = \frac 1 R_1 + \frac 1 R_2 \Ra R = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ |
| 108 | + \item Serienschaltung von Widerstandsgeraden: genauso wie Parallelschaltung nur $R$ statt $G$ |
| 109 | + \item Arbeitspunkt ermitteln: |
| 110 | + \begin{enumerate} |
| 111 | + \item Schaltungs aufteilen in Quelle $Q$ und Last $L$ |
| 112 | + \item Parameterdarstellung $\Ra$ Kennlinien zeichnen |
| 113 | + \item Lösung: Schnittpunkte der Kennlinien! $\Ra$ ist die Funktion im AP stetig und diffbar, kann man sie dort \emph{linearisieren} |
| 114 | + \end{enumerate} |
| 115 | +\end{itemize} |
| 116 | + |
| 117 | +Eigenschaften von $F$: |
| 118 | + |
| 119 | +\tablebox{ |
| 120 | + \begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}} |
| 121 | + \ctrule |
| 122 | + F ungepolt & Kennlinie punktsymm. zum Ursprung \\ |
| 123 | + F aktiv & mind. 1 Pkt. in II. od. IV. Quadr. \\ |
| 124 | + F verlustfrei & nur auf Koordinatenachsen \\ |
| 125 | + F quellenfrei & enthält den Ursprung \\ |
| 126 | + F streng linear & $(ku, ki) \in F$ \quad $ (u_1 + u_2, i_1 + i_2) \in F$ \\ |
| 127 | + \cbrule |
| 128 | + \end{tabular*} |
| 129 | +} |
| 130 | + |
| 131 | + |
| 132 | +} |
| 133 | +% -- Seite 1 |
| 134 | + |
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| 137 | +\newpage |
| 138 | +% ------------------------------------------------------- |
| 139 | +% | S C H A L T U N G S T E C H N I K 2 | |
| 140 | +% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |
| 141 | +%######################################################################################################################################################################################################## |
| 142 | +{\huge{\textbf{Schaltungstechnik 2}}} |
| 143 | + |
| 144 | + |
| 145 | +\section{Allgemeines} |
| 146 | +% =============================================================================================== |
| 147 | + |
| 148 | + \subsection{Die vier zentralen Größen $u,i,q,\Phi$} |
| 149 | + % ---------------------------------------------------------------------- |
| 150 | + ... beschreiben die Wirkungsweise von elektronischen Bauelementen.\\ \\ |
| 151 | + \begin{tabular}{lc|ll} |
| 152 | + Größe & & Definition\\ \hline |
| 153 | + Spannung & $u$ & Potentialdifferenz. Richtung: Von hohem zu niedrigen Potential.\\ |
| 154 | + Stromfluss & $i$ & Bewegte Ladung. Richtung: Bewegungsrichtung positiver Ladung.\\ |
| 155 | + Ladung & $q$ & Grundeigenschaft von Materie. Es gibt positive und negative Ladung.\\ |
| 156 | + Magn. Fluss & $\Phi$ & Grundeigenschaften von elektr. magn. Feldern.\\ |
| 157 | + \end{tabular} |
| 158 | + |
| 159 | + \subsubsection{Allgemeine Zusammenhänge $u,i,q,\Phi$} |
| 160 | + Ladung und Strom beschreiben den Zustand der Materie.\\ |
| 161 | + Spannung und magn. Fluss beschreiben den Zustand des elekt. magn. Feldes.\\ \\ |
| 162 | + \begin{tabular}{l|l} |
| 163 | + $i(t) = \dot q(t)$ & $[i]=A$\\ |
| 164 | + $q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^t i(\tau) \mathrm d\tau$ & $[q]=As=C$ \\ \hline |
| 165 | + $u(t) = \dot \Phi(t)$ & $[u]=V$\\ |
| 166 | + $\Phi = \Phi(t_0) + \int_{t_0}^t u(\tau) \mathrm d\tau$ & $[\Phi]=Vs=Wb$ \\ |
| 167 | + \end{tabular} |
| 168 | + |
| 169 | + |
| 170 | + |
| 171 | + |
| 172 | + \subsubsection{Arten von Bauelementen} |
| 173 | + \begin{tabular}{l|l|l|l|l} |
| 174 | + Art & Symbol & Beschr. & linear & Beispiel\\ \hline |
| 175 | + Resistivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Resistivitat.pdf} & $f_R(u,i)$ & $u = U_0 + R \cdot i$ & PN-Diode\\ |
| 176 | + Kapazität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Kapazivitat.pdf} & $f_C(u,q)$ & $q = Q_0 + C \cdot u$ & Kondensator\\ |
| 177 | + Induktivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Induktivitat.pdf} & $f_L(i,\Phi)$ & $\Phi = \Phi_0 + L \cdot i$ & Spule\\ |
| 178 | + Memristivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Memristivitat.pdf} & $f_M(q,\Phi)$ & $\Phi = \Phi_0 + M \cdot q$ & Memristor\\ |
| 179 | + \end{tabular} |
| 180 | + |
| 181 | + |
| 182 | + |
| 183 | + |
| 184 | + |
| 185 | +\sectionbox{ |
| 186 | + \subsection{Komplexe Wechselstromrechnung} |
| 187 | + % --------------------------------------------------------- |
| 188 | + Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusförmiger Erregung $x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t + \varphi)$ |
| 189 | + Effektivwert $X = \frac{\hat x}{\sqrt{2}}$\\ |
| 190 | + Differentialoperator: $\frac{\diff}{\diff t} = \i \omega$\\ |
| 191 | + \emphbox{ |
| 192 | + \begin{tabular}{ll} |
| 193 | + Reeles Zeitsignal: &\!\!\!\!\!\! $x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t + \varphi_x)$\\[0.5em] |
| 194 | + Effektiver Zeiger: &\!\!\!\!\!\! $\cx X = X_w + \i X_b = X \exp(\i \varphi_x)$\\[0.5em] |
| 195 | + Scheitel Zeiger: &\!\!\!\!\!\! $\boldsymbol{\hat X} = \sqrt{2} \cx X = \hat X \exp(\i \varphi_x)$\\[0.5em] |
| 196 | + Kompl. Zeitsignal: &\!\!\!\!\!\! $\cx x(t) = \boldsymbol{\hat X} \cdot e^{\i \omega t} = \hat x \cdot e^{\i(\omega t + \varphi_x)}$\\[0.5em] |
| 197 | + Phase: &\!\!\!\!\!\! $\varphi_x := \arg \cx X = \arctan \frac{X_b}{X_w}$\\ |
| 198 | + \end{tabular} } \\ |
| 199 | + \framebox[\columnwidth]{ |
| 200 | + \begin{tabular}{l@{\hspace{4em}}l} |
| 201 | + $\underset{\text{Impedanz}}{\cx Z(j\omega)} = \underset{\text{Resistanz}}{R(j\omega)} + \underset{\text{Reaktanz}}{jX(j\omega)}$ & $\cx U = \cx Z \cdot \cx I$\\[0.5em] |
| 202 | + $\underset{\text{Admittanz}}{\cx Y(j\omega)} = \underset{\text{Konduktanz}}{G(j\omega)} + \underset{\text{Suszeptanz}}{jB(j\omega)}$ & $\cx I = \cx Y \cdot \cx U$\\ |
| 203 | + \end{tabular} |
| 204 | + } |
| 205 | + |
| 206 | + \tablebox{ |
| 207 | + \begin{tabular*}{\columnwidth}{l@{\extracolsep\fill}cccc} \ctrule |
| 208 | + & \textbf{Widerstand} & \textbf{Kondensator} & \textbf{Spule} & \textbf{Memristor}\\ \cmrule |
| 209 | + $Z=$ & $R$ & $\frac{1}{j \omega C}$ & $j \omega L$ & $M$\\[0.5em] |
| 210 | + $Y=$ & $G = \frac{1}{R}$ & $j \omega C$ & $\frac{1}{j \omega L}$ & $\frac{1}{M}$\\[0.5em] |
| 211 | + $\underset{\varphi_u - \varphi_i}{\Delta \varphi =}$ & 0 & $-\frac{\pi}{2}$ & $\frac{\pi}{2}$ & ?\\ \cbrule |
| 212 | + \end{tabular*} } |
| 213 | +} |
| 214 | + |
| 215 | + |
| 216 | + |
| 217 | + |
| 218 | + |
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| 220 | + |
| 221 | +% Ende der Spalten |
| 222 | +\end{multicols*} |
| 223 | + |
| 224 | +% Dokumentende |
| 225 | +% ====================================================================== |
| 226 | +\end{document} |
| 227 | + |
| 228 | +% ToDos: |
| 229 | + |
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