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1+
% .:: Laden der LaTeX4EI Formelsammlungsvorlage
2+
\documentclass[fs, footer]{latex4ei}
3+
4+
% Dokumentbeginn
5+
% ======================================================================
6+
\begin{document}
7+
8+
9+
% Aufteilung in Spalten
10+
\vspace{-4mm}
11+
\begin{multicols*}{4}
12+
\fstitle{Schaltungstechnik 1}
13+
14+
% -------------------------------------------
15+
% | Schaltungstechnik |
16+
% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
17+
% SECTION ====================================================================================
18+
\section{Mathematische Grundlagen}
19+
% ============================================================================================
20+
21+
\sectionbox{
22+
\subsection{Sinus, Cosinus \quad $\sin^2(x) \bs + \cos^2(x) = 1$}
23+
\setlength{\tabcolsep}{4pt}
24+
\tablebox{
25+
\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}c|c|c|c|c||c|c|c|c@{}} \ctrule
26+
$x$ & $0$ & $\pi / 6$ & $\pi / 4$ & $\pi / 3$ & $\frac{1}{2}\pi$ & $\pi$ & $1\frac{1}{2}\pi$ & $2 \pi$ \\
27+
$\scriptstyle{ \varphi }$ & $\scriptstyle{0^\circ}$ & $\scriptstyle{30^\circ}$ & $\scriptstyle{45^\circ}$ & $\scriptstyle{60^\circ}$ & $\scriptstyle{90^\circ}$ & $\scriptstyle{180^\circ}$ & $\scriptstyle{270^\circ}$ & $\scriptstyle{360^\circ}$ \\ \cmrule
28+
$\sin$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}}$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
29+
$\cos$ & $1$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt 2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\
30+
$\tan$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & $\pm \infty$ & $0$ & $\mp \infty$ & $0$\\ \cbrule
31+
\end{tabular*} }
32+
}
33+
34+
35+
% SECTION ====================================================================================
36+
\section{Netzwerktheorie}
37+
% ============================================================================================
38+
39+
\sectionbox{
40+
41+
\subsection{Kirchhoff-Gesetze}
42+
Konzentriertheitshypothese: $d << \lambda$ mit \\
43+
$d = $ Größe der Schaltung, Wellenlänge $\lambda = c T$ \\
44+
45+
Knotenregel \emph{KCL}: $ \sum \limits_{\text{Knoten}}i_{\ir j} (t) = 0$ (heraußfließende Ströme positiv) \\
46+
Maschenregel \emph{KVL}: $ \sum \limits_{\text{Umlauf}} u_{\ir j} (t) = 0$ (Spannungen in Umlaufrichtung positiv)
47+
48+
Knoteninzidenzmatrix: $\ma A' = \mat{\alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1b} \\ \vdots & & \\ \alpha_{n1} & \ldots & \alpha_{nb}}$ $n$ Knoten
49+
50+
Spaltensummen von $A'$ sind immer $= 0$ \\
51+
$\Ra$ Zeile des Bezugsknotens streichen $\Ra$ \\
52+
$\ma A \vec i =0$ (reduzierte Knoteninzidenzmatrix)
53+
54+
$\ma M = \ma A^{'\top} $ mit $\vec u = \ma M^{'} \vec u^{'}_{\ir k}$ $\Ra $ KVL in Matrixform: $\vec u - \ma A^{\top} \vec u_{k} = 0$
55+
56+
}
57+
58+
59+
60+
\sectionbox{
61+
\subsection{Schaltung und Netzwerkgraph}
62+
% Verbindet man mehrere Bauelemente zu einer Schaltung ergibt sich eine eindeutige Verbindungsstruktur.\\
63+
Der gerichtete Netzwerkgraph stellt die Verbindungsstruktur einer Schaltung durch $n$ Knoten (node) und $b$ Verbindungskanten (branch) mit Richtungspfeilen dar.\\
64+
Jedes Bauelement mit zwei Anschlüssen entspricht einer Verbindungskante. Ein Knoten ist dort, wo ein oder mehr Anschlüsse von Bauteilen durch ideal leitenden Draht miteinander verbunden sind.
65+
Verbundene Anschlüsse entsprechen einem Kurzschluss, nicht verbundene Anschlüsse einem Leerlauf!
66+
67+
68+
Um die Betriebspunkte einer Schaltung zu bestimmen sind $2b$ linear unabhängige Gleichungen nötig. Man erhält diese $2b$ Gleichungen aus den Beschreibungen der Bauelemente und den Kirchoff Gleichungen.
69+
70+
71+
\subsubsection{Wichtige Begriffe}
72+
\begin{description}%\itemsep0pt
73+
\item[Zählpfeile:] Zeigen die gemeinsame(assoziierte) Zählrichtung von Stromfluss und Spannungsabfall zwischen zwei Knoten an, unabhängig von den tatsächlichen Richtungen(Vorzeichen).
74+
\item[Masse(Erdung) $\perp$:] Bezugspunkt des elektr. Potentials mit Potential $0V$
75+
\item[Kurzschluss(KS):] ideal leitender Draht. $u_{KS} = 0$, $i_{KS}=$beliebig
76+
\item[Leerlauf(LL):] ideal isolierende Luft. $u_{LL}=$beliebig, $i_{LL} = 0$
77+
\item[Tor:] Ein Tor bilden zwei Anschlüsse bei denen der Stromzufluss des einen Anschluss gleich dem Stromabfluss des anderen Anschluss entspricht. $i_{in} = i_{out}$
78+
\end{description}
79+
80+
}
81+
82+
\subsection{Eintorverschaltungen}
83+
84+
85+
\tablebox{
86+
\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{\hspace{1em}}|ll@{}} \ctrule
87+
\multicolumn{2}{c}{\large{Serienschaltung}} & \multicolumn{2}{c}{\large{Parallelschaltung}} \\ \ctrule
88+
$u= \sum u_i$ & $i=\const$ & $u =\const$ & $i=\sum i_i$\\
89+
$q= \const$ & $\Phi_{\ir M} =\sum \Phi_{{\ir M,}i}$ & $q=\sum q_i$ & $\Phi_{\ir M}=\const$\\ \cmrule
90+
$R=\sum R_i$ & $M=\sum M_i$ & $\frac{1}{R} = \sum \frac{1}{R_i}$ & $\frac{1}{M} = \sum \frac{1}{M_i}$\\[0.5em]
91+
$\frac{1}{C} = \sum \frac{1}{C_i}$ & $L=\sum L_i$ & $C=\sum C_i$ & $\frac{1}{L} = \sum \frac{1}{L_i}$ \\[0.5em] \cmrule
92+
$\cx Z=\sum \cx Z_i$ & $\frac{1}{\cx Y} = \sum \frac{1}{\cx Y_i}$ & $\frac{1}{\cx Z} = \sum \frac{1}{\cx Z_i}$ & $\cx Y=\sum \cx Y_i$\\ \cbrule
93+
\end{tabular*} }
94+
95+
96+
97+
\sectionbox{
98+
\subsection{Resistive Eintore}
99+
100+
\begin{itemize}
101+
\item Implizite Darstellung: $f_F (u,i) = 0$
102+
\item Parameterdarstellung: $u = u_F ( \lambda )$ \quad $ i = i_F (\lambda )$
103+
\item Explizite Darstellung: $\underset{\ir Leitwertdarstellung}{i = g_F (u)}$ \quad $\underset{\ir Widerstandsdarstellung}{u = r_F (i)}$
104+
\item Umpolung: $\overline F$ entsteht durch Punktspiegelung von $F$ am Unsprung: $(\overline u, \overline i) = (- u, - i) \in \overline F$
105+
\item Dualität: $(u,i) \in F \Leftrightarrow ( R_d i, \frac{ u}{ R_d}) \in F^d$
106+
\item Parallelschaltung von Widerstandsgeraden: $G = G_1 + G_2$ \\
107+
$\Ra \frac 1 R = \frac 1 R_1 + \frac 1 R_2 \Ra R = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
108+
\item Serienschaltung von Widerstandsgeraden: genauso wie Parallelschaltung nur $R$ statt $G$
109+
\item Arbeitspunkt ermitteln:
110+
\begin{enumerate}
111+
\item Schaltungs aufteilen in Quelle $Q$ und Last $L$
112+
\item Parameterdarstellung $\Ra$ Kennlinien zeichnen
113+
\item Lösung: Schnittpunkte der Kennlinien! $\Ra$ ist die Funktion im AP stetig und diffbar, kann man sie dort \emph{linearisieren}
114+
\end{enumerate}
115+
\end{itemize}
116+
117+
Eigenschaften von $F$:
118+
119+
\tablebox{
120+
\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
121+
\ctrule
122+
F ungepolt & Kennlinie punktsymm. zum Ursprung \\
123+
F aktiv & mind. 1 Pkt. in II. od. IV. Quadr. \\
124+
F verlustfrei & nur auf Koordinatenachsen \\
125+
F quellenfrei & enthält den Ursprung \\
126+
F streng linear & $(ku, ki) \in F$ \quad $ (u_1 + u_2, i_1 + i_2) \in F$ \\
127+
\cbrule
128+
\end{tabular*}
129+
}
130+
131+
132+
}
133+
% -- Seite 1
134+
135+
136+
137+
\newpage
138+
% -------------------------------------------------------
139+
% | S C H A L T U N G S T E C H N I K 2 |
140+
% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
141+
%########################################################################################################################################################################################################
142+
{\huge{\textbf{Schaltungstechnik 2}}}
143+
144+
145+
\section{Allgemeines}
146+
% ===============================================================================================
147+
148+
\subsection{Die vier zentralen Größen $u,i,q,\Phi$}
149+
% ----------------------------------------------------------------------
150+
... beschreiben die Wirkungsweise von elektronischen Bauelementen.\\ \\
151+
\begin{tabular}{lc|ll}
152+
Größe & & Definition\\ \hline
153+
Spannung & $u$ & Potentialdifferenz. Richtung: Von hohem zu niedrigen Potential.\\
154+
Stromfluss & $i$ & Bewegte Ladung. Richtung: Bewegungsrichtung positiver Ladung.\\
155+
Ladung & $q$ & Grundeigenschaft von Materie. Es gibt positive und negative Ladung.\\
156+
Magn. Fluss & $\Phi$ & Grundeigenschaften von elektr. magn. Feldern.\\
157+
\end{tabular}
158+
159+
\subsubsection{Allgemeine Zusammenhänge $u,i,q,\Phi$}
160+
Ladung und Strom beschreiben den Zustand der Materie.\\
161+
Spannung und magn. Fluss beschreiben den Zustand des elekt. magn. Feldes.\\ \\
162+
\begin{tabular}{l|l}
163+
$i(t) = \dot q(t)$ & $[i]=A$\\
164+
$q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^t i(\tau) \mathrm d\tau$ & $[q]=As=C$ \\ \hline
165+
$u(t) = \dot \Phi(t)$ & $[u]=V$\\
166+
$\Phi = \Phi(t_0) + \int_{t_0}^t u(\tau) \mathrm d\tau$ & $[\Phi]=Vs=Wb$ \\
167+
\end{tabular}
168+
169+
170+
171+
172+
\subsubsection{Arten von Bauelementen}
173+
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
174+
Art & Symbol & Beschr. & linear & Beispiel\\ \hline
175+
Resistivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Resistivitat.pdf} & $f_R(u,i)$ & $u = U_0 + R \cdot i$ & PN-Diode\\
176+
Kapazität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Kapazivitat.pdf} & $f_C(u,q)$ & $q = Q_0 + C \cdot u$ & Kondensator\\
177+
Induktivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Induktivitat.pdf} & $f_L(i,\Phi)$ & $\Phi = \Phi_0 + L \cdot i$ & Spule\\
178+
Memristivität & \includegraphics[height=0.4cm]{./img/Memristivitat.pdf} & $f_M(q,\Phi)$ & $\Phi = \Phi_0 + M \cdot q$ & Memristor\\
179+
\end{tabular}
180+
181+
182+
183+
184+
185+
\sectionbox{
186+
\subsection{Komplexe Wechselstromrechnung}
187+
% ---------------------------------------------------------
188+
Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusförmiger Erregung $x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t + \varphi)$
189+
Effektivwert $X = \frac{\hat x}{\sqrt{2}}$\\
190+
Differentialoperator: $\frac{\diff}{\diff t} = \i \omega$\\
191+
\emphbox{
192+
\begin{tabular}{ll}
193+
Reeles Zeitsignal: &\!\!\!\!\!\! $x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t + \varphi_x)$\\[0.5em]
194+
Effektiver Zeiger: &\!\!\!\!\!\! $\cx X = X_w + \i X_b = X \exp(\i \varphi_x)$\\[0.5em]
195+
Scheitel Zeiger: &\!\!\!\!\!\! $\boldsymbol{\hat X} = \sqrt{2} \cx X = \hat X \exp(\i \varphi_x)$\\[0.5em]
196+
Kompl. Zeitsignal: &\!\!\!\!\!\! $\cx x(t) = \boldsymbol{\hat X} \cdot e^{\i \omega t} = \hat x \cdot e^{\i(\omega t + \varphi_x)}$\\[0.5em]
197+
Phase: &\!\!\!\!\!\! $\varphi_x := \arg \cx X = \arctan \frac{X_b}{X_w}$\\
198+
\end{tabular} } \\
199+
\framebox[\columnwidth]{
200+
\begin{tabular}{l@{\hspace{4em}}l}
201+
$\underset{\text{Impedanz}}{\cx Z(j\omega)} = \underset{\text{Resistanz}}{R(j\omega)} + \underset{\text{Reaktanz}}{jX(j\omega)}$ & $\cx U = \cx Z \cdot \cx I$\\[0.5em]
202+
$\underset{\text{Admittanz}}{\cx Y(j\omega)} = \underset{\text{Konduktanz}}{G(j\omega)} + \underset{\text{Suszeptanz}}{jB(j\omega)}$ & $\cx I = \cx Y \cdot \cx U$\\
203+
\end{tabular}
204+
}
205+
206+
\tablebox{
207+
\begin{tabular*}{\columnwidth}{l@{\extracolsep\fill}cccc} \ctrule
208+
& \textbf{Widerstand} & \textbf{Kondensator} & \textbf{Spule} & \textbf{Memristor}\\ \cmrule
209+
$Z=$ & $R$ & $\frac{1}{j \omega C}$ & $j \omega L$ & $M$\\[0.5em]
210+
$Y=$ & $G = \frac{1}{R}$ & $j \omega C$ & $\frac{1}{j \omega L}$ & $\frac{1}{M}$\\[0.5em]
211+
$\underset{\varphi_u - \varphi_i}{\Delta \varphi =}$ & 0 & $-\frac{\pi}{2}$ & $\frac{\pi}{2}$ & ?\\ \cbrule
212+
\end{tabular*} }
213+
}
214+
215+
216+
217+
218+
219+
220+
221+
% Ende der Spalten
222+
\end{multicols*}
223+
224+
% Dokumentende
225+
% ======================================================================
226+
\end{document}
227+
228+
% ToDos:
229+

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