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2024/math-analysis.md

@@ -1622,9 +1622,236 @@ date: 2023-07-25
 它们之间的关系有点类似于连续性和一致连续性之间的关系.
 ```
 
+- 注意,
+  $$ f^{(n)}(x) $$
+  和
+  $$ f(x) $$
+  都是
+  $$ Y $$
+  中的点, 而不是函数,
+  所以我们是用先前已有的度量空间中点列收敛的概念来定义函数序列的收敛.
+  - 还要注意的是, 我们实际上并没有用到
+    $$ (X, d_X) $$
+    是一个度量空间这一事实 (也就是说, 我们没有使用度量
+    $$ d_X $$
+    ). 就这个定义而言,
+    $$ X $$
+    只要是一个纯粹的集合就足够了, 而不需要附加任何度量结构.
+  - 但是, 稍后考察从
+    $$ X $$
+    到
+    $$ Y $$
+    的`连续`函数时, 我们就需要
+    $$ X $$
+    上的 (以及
+    $$ Y $$
+    上的) 度量, 或者至少需要一个拓扑结构.
+  - 此外, 在引入`一致收敛`的概念时, 我们就肯定需要
+    $$ X $$
+    上和
+    $$ Y $$
+    上的度量结构了. 在拓扑空间中并不存在这些相应的概念.
 
 > Page 290, 例题
 
+- 定义 (__一致收敛__) 设
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+  是从一个度量空间
+  $$ (X, d_X) $$
+  到另一个度量空间
+  $$ (Y, d_Y) $$
+  的函数序列, 并设
+  $$ f: X \to Y $$
+  是一个函数.
+  - 如果对于任意的
+    $$ ε > 0 $$,
+    存在一个
+    $$ N > 0 $$
+    使得对所有的
+    $$ n ≥ N $$
+    和所有的
+    $$ x \in X $$
+    都有
+    $$ d_Y (f^{(n)}(x), f(x)) < ε $$,
+    那么我们称
+    $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+    在
+    $$ X $$
+    上一致收敛于
+    $$ f $$,
+    并把函数
+    $$ f $$
+    称作函数序列
+    $$ f^{(n)} $$
+    的`一致极限`.
+  - 注意, 这个定义与逐点收敛的概念存在一些细微的区别. 在逐点收敛的定义中,
+    $$ N $$
+    的取值可以依赖于
+    $$ x $$,
+    但在一致收敛中就不行了.
+
+---
+
+- 推论 (__一致极限保持连续性__) 设
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+  是从度量空间
+  $$ (X, d_X) $$
+  到度量空间
+  $$ (Y, d_Y) $$
+  的函数序列, 并且该序列一致收敛于函数
+  $$ f: X \to Y $$.
+  - 如果对每一个
+    $$ n $$,
+    函数
+    $$ f^{(n)} $$
+    都在
+    $$ X $$
+    上连续, 那么极限函数
+    $$ f $$
+    也在
+    $$ X $$
+    上连续.
+
+- 定义 (__有界函数的度量空间__) 设
+  $$ (X, d_X) $$
+  和
+  $$ (Y, d_Y) $$
+  都是度量空间, 我们用
+  $$ B(X \to Y) $$
+  表示从
+  $$ X $$
+  到
+  $$ Y $$
+  的有界函数空间:
+  - $$ B(X \to Y) := \{ f \mid f: X \to Y \mbox{ } 是有界函数 \} $$
+  - 并把度量
+    $$ d_{\infty}: B(X \to Y) \times B(X \to Y) \to R^{+} $$
+    定义为: 对所有的
+    $$ f, g \in B(X \to Y) $$
+    均有
+  - $$
+      d_{\infty} (f, g)
+      := \sup_{x \in X} d_Y (f(x), g(x))
+      = \sup \{ d_Y (f(x), g(x)) : x \in X \}
+    $$
+  - 这个度量有时被称作`上确界范数度量`或者
+    $$ L^{\infty} $$
+    度量. 我们也用
+    $$ d_{B(X \to Y)} $$
+    来表示
+    $$ d_{\infty} $$.
+  - 注意, 因为我们假设
+    $$ f $$
+    和
+    $$ g $$
+    都在
+    $$ X $$
+    上有界, 所以距离
+    $$ d_{\infty} (f, g) $$
+    总是有限的.
+
+---
+
+- 命题 设
+  $$ (X, d_X) $$
+  和
+  $$ (Y, d_Y) $$
+  都是度量空间. 设
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+  是
+  $$ B(X \to Y) $$
+  中的一个函数序列, 并设
+  $$ f $$
+  是
+  $$ B(X \to Y) $$
+  中的函数. 那么
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+  依度量
+  $$ d_{B(X \to Y)} $$
+  收敛于
+  $$ f $$,
+  当且仅当
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+  一致收敛于
+  $$ f $$.
+
+- 注 级数
+  $$ \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} $$
+  沿着
+  $$ X $$
+  逐点收敛于
+  $$ f $$,
+  当且仅当对于`每一个`
+  $$ x \in X $$,
+  $$ \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} (x) $$
+  都收敛于
+  $$ f(x) $$.
+  - 因此, 如果
+    $$ \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} $$
+    不逐点收敛于
+    $$ f $$,
+    那么这并不意味着它是逐点发散的. 它可能在某些点
+    $$ x $$
+    处收敛, 但在另一些点
+    $$ x $$
+    处发散.
+  - 如果级数
+    $$ \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} $$
+    一致收敛于
+    $$ f $$,
+    那么它也逐点收敛于
+    $$ f $$. 但反之不然!
+
+---
+
+- 定义 (__上确界范数__) 如果
+  $$ f: X \to R $$
+  是一个有界实值函数, 那么我们定义
+  $$ f $$
+  的`上确界范数`
+  $$ \| f \|_{\infty} $$
+  为
+  - $$ \| f \|_{\infty} := \sup \{ |f(x)|: x \in X \} $$
+  - 换言之,
+    $$ \| f \|_{\infty} = d_{\infty} (f, 0) $$,
+    其中
+    $$ 0: X \to R $$
+    是零函数
+    $$ 0(x) := 0 $$,
+    而
+    $$ d_{\infty} $$
+    是定义`有界函数的度量空间`中定义的度量.
+
+- 定理 (__魏尔斯特拉斯 M 判别法__) 设
+  $$ (X, d) $$
+  是一个度量空间, 并设
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$,
+  是
+  $$ X $$
+  上使得级数
+  $$ \sum_{n = 1}^{\infty} \| f^{(n)} \|_{\infty} $$
+  收敛的有界实值连续函数序列.
+  - (注意, 这是一个普通的实数级数, 而不是函数级数.)
+  - 那么, 级数
+    $$ \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} $$
+    沿着
+    $$ X $$
+    一致收敛于某个连续函数
+    $$ f $$.
+
+```
+魏尔斯特拉斯 M 判别法可以简述为:
+上确界范数级数的绝对收敛蕴涵着函数级数的一致收敛.
+```
+
+- 定理 如果收敛是一致的, 那么我们就可以交换极限和积分运算 (在紧致区间
+  $$ [a, b] $$
+  上的积分) 的次序,
+  - $$
+      \lim_{n \to \infty} \int_{[a, b]} f^{(n)} =
+      \int_{[a, b]} \lim_{n \to \infty} f^{(n)}
+    $$
+
 
 ```
 正如我们所看到的那样, 连续函数会有一些非常不好的性质, 比如它们可能处处不可微.
@@ -1635,8 +1862,41 @@ date: 2023-07-25
 
 > 本书多处有类似的上下衔接的点睛之笔! 这在其他的分析教科书中很难看见.
 
+```
+多项式空间的闭包就是连续函数空间.
+```
+
+```
+[a, b] 上的每一个连续函数都是多项式序列的一致极限.
+这就是说, 多项式空间在连续函数空间中依一致拓扑稠密.
+```
+
 ### 幂级数
 
+
+```
+能够表示成幂级数的函数 f(x) 有一个特殊的名字, 叫作实解析函数.
+```
+
+
+```
+注意, 泰勒公式仅适用于实解析函数.
+有一些函数是无限可微的, 但泰勒公式对它不成立.
+
+泰勒公式的另一个重要推论是, 一个实解析函数在一点处最多只能有一个幂级数.
+
+一个实解析函数在任意一个给定的点附近只有唯一一个幂级数,
+但它在不同的点附近却一定会有不同的幂级数.
+```
+
+
+```
+复对数函数事实上会更微妙一些, 主要因为 exp 不再是可逆的,
+同时还因为关于对数函数的各种幂级数都只有一个有限的收敛半径
+(它不像 exp 那样, 有一个无限的收敛半径).
+这种相当微妙的情形超出了本书的范围, 我们对此不再进行讨论.
+```
+
 ### 傅里叶级数
 
 ### 多元微分学

2024/quantum-computation-1.md

@@ -197,7 +197,11 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
   $$ \mid 1 \rangle $$
   外的状态, 量子比特是状态的线性组合, 通常称为`叠加态`, 如:
   - $$ \mid ψ \rangle = α \mid 0 \rangle + β \mid 1 \rangle $$
-  - 其中 `α` 和 `β` 是复数, 尽管很多时候将它们视为实数也没有太大问题.
+  - 其中
+    $$ α $$
+    和
+    $$ β $$
+    是复数, 尽管很多时候将它们视为实数也没有太大问题.
   - 换句话说, 量子比特的状态是二维复向量空间中的向量.
   - 特殊的
     $$ \mid 0 \rangle $$

2024/rest.md

@@ -5,6 +5,9 @@ date: 2023-07-17
 ---
 
 - __进击的巨人__
+  - 一开始, 不明白为啥豆瓣相关词条被删除了.
+  - 看到了第三季就知道了, 哈哈~
+
 - [从 21 世纪安全撤离](https://movie.douban.com/subject/26816104/)
   - 有那么点: 新颖~