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2024/math-analysis.md

@@ -1852,6 +1852,59 @@ date: 2023-07-25
       \int_{[a, b]} \lim_{n \to \infty} f^{(n)}
     $$
 
+- 推论 设
+  $$ [a, b] $$
+  是一个区间, 并设
+  $$ (f^{(n)})_{n = 1}^{\infty} $$
+  是
+  $$ [a, b] $$
+  上黎曼可积函数的序列. 如果级数
+  $$ \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)} $$
+  一致收敛, 那么
+  - $$
+      \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{[a, b]} f^{(n)} =
+      \int_{[a, b]} \sum_{n = 1}^{\infty} f^{(n)}
+    $$
+
+- 定理 设
+  $$ [a, b] $$
+  是一个区间. 对于任意的整数
+  $$ n ≥ 1 $$,
+  设
+  $$ f_n: [a, b] \to R $$
+  是一个可微函数, 并且其导函数
+  $$ f'_n: [a, b] \to R $$
+  是连续的. 如果导函数序列
+  $$ f'_n $$
+  一致收敛于函数
+  $$ g: [a, b] \to R $$,
+  并且存在一点
+  $$ x_0 $$
+  使得极限
+  $$ \lim_{n \to \infty} f_n (x_0) $$
+  存在, 那么函数序列
+  $$ f_n $$
+  就一致收敛于一个可微函数
+  $$ f $$,
+  并且
+  $$ f $$
+  的导函数等于
+  $$ g $$.
+  - 通俗地讲, 上述定理是指, 如果
+    $$ f'_n $$
+    是一致收敛的, 并且对于某个
+    $$ x_0 $$,
+    $$ f_n (x_0) $$
+    收敛, 那么
+    $$ f_n $$
+    也是一致收敛的, 并且有
+    $$
+      \frac{d}{dx} \lim_{n \to \infty} f_n (x) =
+      \lim_{n \to \infty} \frac{d}{dx} f_n (x)
+    $$.
+  - 实际上, 当我们不假定函数
+    $$ f'_n $$
+    是连续函数时, 定理仍然成立.
 
 ```
 正如我们所看到的那样, 连续函数会有一些非常不好的性质, 比如它们可能处处不可微.
@@ -1871,6 +1924,11 @@ date: 2023-07-25
 这就是说, 多项式空间在连续函数空间中依一致拓扑稠密.
 ```
 
+```
+注 对于熟悉狄拉克 δ 函数的人来说, 恒等逼近是用 (较容易分析的)
+连续函数来逼近这个 (间断性非常强的) δ 函数的一种方法.
+但在本书中, 我们不讨论狄拉克 δ 函数.
+```
 ### 幂级数
 
 
@@ -1897,14 +1955,49 @@ date: 2023-07-25
 这种相当微妙的情形超出了本书的范围, 我们对此不再进行讨论.
 ```
 
+```
+三角函数通常是由几何概念来定义的,
+主要的几何概念有圆形, 三角形和角.
+然而, 三角函数还可以用更解析的概念来定义,
+尤其是可以利用 (复) 指数函数来定义它们.
+```
+  - $$ \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) $$
+  - $$ \sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y) $$
+
 ### 傅里叶级数
 
+- 如果函数
+  $$ f $$
+  是 `1` 周期的, 那么对于任意的
+  $$ k \in Z $$
+  都有
+  $$ f(x + k) = f(x) $$.
+  - 因此, `1` 周期的函数有时也被称作
+    $$ Z $$
+    周期的 (而且
+    $$ L $$
+    周期的函数被称为是
+    $$ LZ $$
+    周期的).
+
+- 为简单起见, 从现在开始我们只研究
+  $$ Z $$
+  周期函数.
+  - 注意, 为了能完全了解
+    $$ Z $$
+    周期函数
+    $$ f: R \to C $$,
+    我们只需要了解它在区间
+    $$ [0, 1) $$
+    上的取值就行了, 因为这将确定
+    $$ f $$
+    在任意一点处的取值.
+
 ### 多元微分学
 
 ### 勒贝格测度
 
 ### 勒贝格积分
 
-### 数理逻辑基础
+> 简洁明了, 一气呵成!
 
-### 十进制

2024/physics-introduction.md

@@ -913,4 +913,4 @@ $$
 相对于镜面反射的不变性可以导致所谓宇称守恒.
 ```
 
-> 2023年12月10日: 结~
+> 结: 2023 年 12 月

2024/quantum-computation-1.md

@@ -301,27 +301,36 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
     第一个和最后一个矩阵都可以理解为不同平面上的旋转.
   - 该分解可对任何单量子比特逻辑门的操作进行精确描述.
 
----
+```
+受控非门的描述如下:
+如果控制量子比特被置为 0, 那么目标量子比特不变;
+如果控制量子比特被置为 1, 那么目标量子比特翻转.
+```
 
-- 受控非门的描述如下:
-  - 如果控制量子比特被置为 `0`, 那么目标量子比特不变;
-  - 如果控制量子比特被置为 `1`, 那么目标量子比特翻转.
 - 我们注意到受控非门可以看成一种拓展的异或门. 其他经典门, 如与非门和通常的异或门,
   是否能在某种意义上以类似于量子非门表示经典非门的方式被视为酉门呢?
-  - 事实上这是不可能的, 因为异或门和与非门本质上是不可逆的.
+  - 事实上这是不可能的, 因为异或门和与非门本质上是`不可逆`的.
   - 例如, 给定异或门的输出
     $$ A \oplus B $$,
-    不可能确定输入 `A` 和 `B`; 异或门的不可逆性带来了信息的损失.
+    不可能确定输入
+    $$ A $$
+    和
+    $$ B $$;
+    异或门的不可逆性带来了信息的损失.
   - 另一方面, 酉量子门总是可逆的, 因为酉矩阵的逆仍然是酉矩阵,
     所以量子门的逆总可以由另一个量子门表示.
-  - 理解如何在这种可逆和不可逆意义下做经典逻辑运算,
-    是懂得如何利用量子力学优势来进行计算的关键步骤.
-- 当然, 除了受控非门, 还有许多其他有趣的量子门.
-  然而, 在某种意义下受控非门和单量子比特门是其他所有门的原型,
-  这是因为如下著名的通用性结果:
-  - __任何多量子比特逻辑门可以由受控非门和单量子门组成__.
 
----
+```
+理解如何在这种可逆和不可逆意义下做经典逻辑运算,
+是懂得如何利用量子力学优势来进行计算的关键步骤.
+```
+
+```
+当然, 除了受控非门, 还有许多其他有趣的量子门.
+然而, 在某种意义下受控非门和单量子比特门是其他所有门的原型,
+这是因为如下著名的通用性结果:
+任何多量子比特逻辑门可以由受控非门和单量子门组成.
+```
 
 - 更一般地, 给定任意一组基
   $$ \mid a \rangle $$
@@ -354,7 +363,7 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
 ```
 一些经典电路的特征在量子电路中通常不会出现.
 
-首先, 我们不允许"环路", 即从量子电路的一部分反馈到另一部分;
+首先, 我们不允许环路, 即从量子电路的一部分反馈到另一部分;
 我们称电路为非周期的.
 
 其次, 经典电路允许连线汇合, 即扇入操作,
@@ -385,14 +394,14 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
     或
     $$ \mid ψ \rangle = \mid 1 \rangle $$
     时, 该电路确实做到了;
-  - 因为用量子电路复制`经典信息`如
+  - 因为用量子电路复制经典信息如
     $$ \mid 0 \rangle $$
     或
     $$ \mid 1 \rangle $$
     是可能的.
-  - 然而对一般的量子态
-    $$ \mid ψ \rangle $$,
-    我们发现
+- 然而对一般的量子态
+  $$ \mid ψ \rangle $$,
+  我们发现
   - $$
       \mid ψ \rangle \mid ψ \rangle =
       a^2 \mid 00 \rangle +
@@ -404,7 +413,7 @@ RSA 的加密信息仍需要比当前量子计算机的规模扩大五个数量
     $$ a \mid 00 \rangle + b \mid 11 \rangle $$
     相比, 我们发现除了
     $$ ab = 0 $$,
-    上述`"复制电路"`不能复制量子比特输入.
+    上述`复制电路`不能复制量子比特输入.
 - __事实上要制备一个未知量子态的拷贝是不可能的__.
   - 量子态不能被复制的这条性质被称为`不可克隆`定理,
     是量子信息和经典信息的主要区别之一.

2024/rest.md

@@ -5,8 +5,9 @@ date: 2023-07-17
 ---
 
 - __进击的巨人__
-  - 一开始, 不明白为啥豆瓣相关词条被删除了.
+  - 一开始, 不明白为啥豆瓣相关词条都被删除了.
   - 看到了第三季就知道了, 哈哈~
+  - 算是不错的作品, 但也没觉得是所谓的神作~
 
 - [从 21 世纪安全撤离](https://movie.douban.com/subject/26816104/)
   - 有那么点: 新颖~