up

2024/quantum-1-1.md

@@ -2522,13 +2522,13 @@ date: 2022-10-31
   的共轭动量
   $$ p_i $$
   定义为:
-  - p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} $$
+  - $$ p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} $$
   - $$ p_i $$
     又叫做`广义动量`.
   - 在粒子体系所受的力导自一个势能的情况下, 位置变量
     $$ \mathbf{r}_i (x_i, y_i, z_i) $$
     的共轭动量其实就是机械动量:
-  - $$ \mathbf{p}_i = m_i \dot{\mathbf{r}}_i
+  - $$ \mathbf{p}_i = m_i \dot{\mathbf{r}}_i $$
   - 但是, 后面我们将会看到, 存在着磁场时, 情况并不如此.
 - 今后, 我们不再用
   $$ N $$

2024/quantum-computation-2.md

@@ -217,7 +217,8 @@ date: 2023-01-17
   $$ U $$
   作用于目标比特上, 否则目标比特不变, 即
   $$
-    \mid c \rangle \mid t \rangle \
+    \mid c \rangle \mid t \rangle
+    \rightarrow
     \mid c \rangle U^c \mid t \rangle
   $$.
 

2024/quantum-introduction-1.md

@@ -791,12 +791,59 @@ in that case, the spectrum is said to be degenerate.
     态的几率."
   - 但是这是完全不同的论述.
 
-> `再说一下`: 说的不错~
-
 > 参见: 科恩, 卷一, 页 17, `波函数; 薛定谔方程`
 
+- Similarly, the expectation value of
+  $$ Q $$
+  should be the sum over all possible outcomes of the
+  eigenvalue times the probability of getting that eigenvalue:
+  - $$ \langle Q \rangle = \sum_{n} q_n \mid c_n \mid^2 $$.
+  - Indeed,
+  - $$
+      \langle Q \rangle =
+      \langle Ψ \mid \hat{Q} Ψ \rangle =
+      \langle (\sum_{n'} c_{n'} f_{n'})
+      \mid
+      (\hat{Q} \sum_{n} c_n f_n) \rangle
+    $$,
+  - but
+    $$ \hat{Q} f_n = q_n f_n $$,
+    so
+  - $$
+      \langle Q \rangle =
+      \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^{*} c_n q_n
+      \langle f_{n'} \mid f_n \rangle =
+      \sum_{n'} \sum_{n} c_{n'}^{*} c_n q_n δ_{n' n} =
+      \sum_{n} q_n \mid c_n \mid^2
+    $$.
+  - So far, at least, everything looks consistent.
+
 - [位置空间与动量空间](https://en.wikipedia.org/wiki/Position_and_momentum_spaces)
 
+- The __momentum space wave function__,
+  $$ Φ(p, t) $$.
+  It is essentially the Fourier transform of the
+  (position space) wave function
+  $$ Ψ(x, t) $$,
+  which, by Plancherel's theorem,
+  is its _inverse_ Fourier transform:
+  - $$
+      Φ(p, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}
+      \int_{- \infty}^{+ \infty}
+      e^{-ipx / \hbar} Ψ(x, t) dx
+    $$;
+  - $$
+      Ψ(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}
+      \int_{- \infty}^{+ \infty}
+      e^{ipx / \hbar} Φ(p, t) dp
+    $$.
+- According to the generalized statistical interpretation,
+  the probability that a measurement of momentum would
+  yield a result in the range
+  $$ dp $$
+  is
+  - $$ \mid Φ(p, t) \mid^2 dp $$.
+
 ### 不确定性原理
 
 - $$ σ_A^2 σ_B^2 \ge (\frac{1}{2i} \langle [ \hat{A}, \hat{B} ] \rangle )^2 $$.

2024/quantum-s-01.md

@@ -85,6 +85,20 @@ date: 2022-04-30
 
 ## 从何处开始?
 
+```
+但是, 如果量子力学不是通常意义上的物理学
+(如果它不关于物质, 能量, 波或粒子), 那它到底关于什么呢?
+在我看来, 量子力学关于信息, 概率, 可观测量, 以及它们之间的关系.
+
+-- Scott Aaronson, 量子计算公开课
+
+但是, 如果量子力学不是通常意义上的物理学
+(如果它不关于物质, 能量, 波或粒子), 那它到底关于什么呢?
+在我看来, 量子力学关于函数分解, 投影, 演化算符, 以及它们之间的关系.
+
+-- Xin Hao, 信息视角学量子
+```
+
 ```
 不要在一开始就试图构建微观 (量子) 世界的几何理解~
 其实永远都不要去尝试 (但这往往是科普书籍的核心).
@@ -111,6 +125,15 @@ date: 2022-04-30
 
 波函数 vs 态矢量
 
+分解 (正交归一)
+  函数分解
+  向量分解
+  算符/矩阵分解
+
+特征值 - 特征向量/特征函数
+
+投影
+
 谱分解 (分解: 观测算符)
   正交归一基, 投影系数模方归一化
   特征值 vs 投影系数

2025/m.md

@@ -1,5 +1,5 @@
 ---
-title:
+title: 概率论沉思录
 description: 寻芳不觉醉流霞, 倚树沉眠日已斜. 客散酒醒深夜后, 更持红烛赏残花.
 date:
 ---